Encontre e esboce a imagem das hipérboles dadas a seguir pela aplicação
, mostrando as orientações correspondentes.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a família de hipérboles definida por
, com . - Pedido: encontrar e esboçar a imagem dessa curva pela aplicação
, e indicar as orientações correspondentes (setas mostrando em que sentido os pontos da imagem são percorridos quando se percorre a hipérbole no plano ).
Informações úteis que já podemos usar sem resolver nada ainda: um ponto genérico no plano
é
com
reais; a imagem por
será um ponto
no plano
. A resolução começa agora.
Passo 2
Expressar
em coordenadas reais:
Aqui cada símbolo significa:
-
são as coordenadas reais de . -
é a parte real de : . -
é a parte imaginária de : .
Passo 3
Usar a equação da hipérbole na expressão de
:
A hipérbole dada satisfaz
. Mas pela fórmula de
temos
. Portanto, ao longo da hipérbole
Como
é uma constante (e foi dado que
), a imagem da hipérbole no plano
fica contida na reta horizontal cuja parte imaginária vale
, isto é,
Em palavras: a curva inteira é enviada para a reta horizontal
(abaixo do eixo real, porque
).
Passo 4
Mostrar como a reta é percorrida (orientação): parametrização da hipérbole
Parametrize a componente da hipérbole por tomar
como parâmetro
. Seja
Então
, ou seja
como desejado. A imagem por
desse ponto parametrizado é
Portanto o ponto
descreve a reta
com coordenada
dada por
.
Passo 5
Analisar o sentido (monotonicidade de
) para os dois ramos
e
Calcule a derivada de
em relação a
. Para simplificar escreva
. Então
Derivando:
-
Para
: ambos os termos em são positivos, logo . Assim, quando cresce de para , cresce de para . Conclusão: o ramo da hipérbole com (que corresponde a , quadrante IV) é enviado para a reta com orientação da esquerda para a direita (u aumentando). -
Para
: escrevendo com observa-se que, ao fazer variar de para , a função varia de para , isto é, decresce quando aumenta no intervalo . Equivalente: ao longo de . Portanto o ramo com (que corresponde a , quadrante II) é enviado para a mesma reta mas com orientação da direita para a esquerda (u decrescendo).
Passo 6
Observação sobre cobertura e simetria
- A aplicação
satisfaz . A hipérbole é simétrica por , logo cada ponto da reta tem, em geral, dois pré-imagens na hipérbole (um em cada ramo), mostrando que a reta é coberta duas vezes pela imagem (mapa duas-a-um), com orientações opostas vindas dos dois ramos. - Localização: como
, a reta imagem fica abaixo do eixo real, paralela ao eixo real.
Resposta
A imagem é a reta horizontal
no plano
(abaixo do eixo real, pois
).\nO ramo da hipérbole com
(quadrante IV) é enviado para essa reta no sentido da esquerda para a direita (
aumenta ).\nO ramo com
(quadrante II) é enviado para a mesma reta no sentido da direita para a esquerda (
diminui ).