Encontre e esboce a imagem das hipérboles dadas a seguir pela aplicação w=z^{2}, mostrando as orientações correspondentes.
2 x y=c_{2}\left(c_{2}<0\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a família de hipérboles definida por \;2xy=c_{2}, com \;c_{2}<0.
  • Pedido: encontrar e esboçar a imagem dessa curva pela aplicação \;w=z^{2}, e indicar as orientações correspondentes (setas mostrando em que sentido os pontos da imagem são percorridos quando se percorre a hipérbole no plano z).
Informações úteis que já podemos usar sem resolver nada ainda: um ponto genérico no plano z é \;z=x+iy com x,y reais; a imagem por w=z^{2} será um ponto \;w=u+iv no plano w. A resolução começa agora.

Passo 2

Expressar w=z^{2} em coordenadas reais:
z=x+iy\quad\Rightarrow\quad w=z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+i(2xy).
Aqui cada símbolo significa:
  • \;x,y são as coordenadas reais de z.
  • \;u é a parte real de w: \;u=x^{2}-y^{2}.
  • \;v é a parte imaginária de w: \;v=2xy.

Passo 3

Usar a equação da hipérbole na expressão de v:
A hipérbole dada satisfaz \;2xy=c_{2}. Mas pela fórmula de w temos \;v=2xy. Portanto, ao longo da hipérbole
v=2xy=c_{2}.
Como c_{2} é uma constante (e foi dado que c_{2}<0), a imagem da hipérbole no plano w fica contida na reta horizontal cuja parte imaginária vale \;c_{2}, isto é,
\text{imagem}=\{\,w=u+iv\mid v=c_{2},\\ u\in\mathbb{R}\,\}.
Em palavras: a curva inteira é enviada para a reta horizontal \;v=c_{2} (abaixo do eixo real, porque c_{2}<0).

Passo 4

Mostrar como a reta é percorrida (orientação): parametrização da hipérbole
Parametrize a componente da hipérbole por tomar x como parâmetro t. Seja
x=t,\qquad y=\frac{c_{2}}{2t}\quad(\text{para }t\neq0).
Então xy=t\cdot\frac{c_{2}}{2t}=c_{2}/2, ou seja \;2xy=c_{2} como desejado. A imagem por w desse ponto parametrizado é
u(t)=x^{2}-y^{2}=t^{2}-\left(\frac{c_{2}}{2t}\right)^{2}=t^{2}-\frac{c_{2}^{2}}{4t^{2}},
v(t)=2xy=c_{2}\quad(\text{constante}).
Portanto o ponto w(t) descreve a reta v=c_{2} com coordenada u dada por u(t).

Passo 5

Analisar o sentido (monotonicidade de u(t)) para os dois ramos t>0 e t<0
Calcule a derivada de u em relação a t. Para simplificar escreva A=\dfrac{c_{2}^{2}}{4}>0. Então
u(t)=t^{2}-\frac{A}{t^{2}}.
Derivando:
\frac{du}{dt}=2t+\frac{2A}{t^{3}}.
  • Para t>0: ambos os termos em \dfrac{du}{dt} são positivos, logo \dfrac{du}{dt}>0. Assim, quando t cresce de 0^{+} para +\infty, u(t) cresce de -\infty para +\infty. Conclusão: o ramo da hipérbole com t>0 (que corresponde a x>0,\\ y<0, quadrante IV) é enviado para a reta v=c_{2} com orientação da esquerda para a direita (u aumentando).
  • Para t<0: escrevendo t=-s com s>0 observa-se que, ao fazer t variar de -\infty para 0^{-}, a função u(t) varia de +\infty para -\infty, isto é, u decresce quando t aumenta no intervalo (-\infty,0). Equivalente: \dfrac{du}{dt}<0 ao longo de t<0. Portanto o ramo com t<0 (que corresponde a x<0,\\ y>0, quadrante II) é enviado para a mesma reta v=c_{2} mas com orientação da direita para a esquerda (u decrescendo).

Passo 6

Observação sobre cobertura e simetria
  • A aplicação w=z^{2} satisfaz w(z)=w(-z). A hipérbole \;2xy=c_{2} é simétrica por z\mapsto -z, logo cada ponto da reta v=c_{2} tem, em geral, dois pré-imagens na hipérbole (um em cada ramo), mostrando que a reta é coberta duas vezes pela imagem (mapa duas-a-um), com orientações opostas vindas dos dois ramos.
  • Localização: como c_{2}<0, a reta imagem fica abaixo do eixo real, paralela ao eixo real.

Resposta

A imagem é a reta horizontal \;v=c_{2} no plano w (abaixo do eixo real, pois \;c_{2}<0).\nO ramo da hipérbole com x>0,y<0 (quadrante IV) é enviado para essa reta no sentido da esquerda para a direita ( u aumenta ).\nO ramo com x<0,y>0 (quadrante II) é enviado para a mesma reta no sentido da direita para a esquerda ( u diminui ).

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