Encontre e esboce a imagem das hipérboles dadas a seguir pela aplicação
, mostrando as orientações correspondentes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e esboçar a imagem, pela aplicação
, da família de hipérboles
e mostrar as orientações correspondentes.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva fonte no plano
é a hipérbole definida por com . - A aplicação é
.
O objetivo imediato: determinar a geometria da imagem no plano(equação da curva imagem) e a orientação induzida por um parâmetro natural da hipérbole.
Passo 2
Escrever a relação entre as coordenadas de
e de
. Se
então
Logo, em coordenadas reais
onde
e
. Vou explicar rapidamente: expandimos
usando distributiva e
; a parte real é
e a imaginária é
. Isso é uma fórmula padrão e muito útil para mapear curvas do plano
para o plano
.
Passo 3
Usar a equação da hipérbole na expressão para
. Como a hipérbole é
, ao aplicar
obtemos imediatamente
Portanto a imagem da hipérbole fica contida na reta vertical
no plano
. Como
, essa reta está à esquerda da origem (parte real negativa). Isso já responde qual é a curva imagem: uma reta vertical.
Passo 4
Verificar quais valores de
aparecem e se toda a reta é preenchida. A parte imaginária é
. Queremos ver, variando os pontos
na hipérbole, quais
surgem. É conveniente parametrizar a hipérbole usando funções hiperbólicas. Defina
então a hipérbole pode ser escrita como
Uma parametrização padrão (para as duas componentes, superior e inferior) é, para
,
Explicando por que isso funciona:
, então
. Essas fórmulas parametricamente geram toda a hipérbole com
e
.
Passo 5
Calcular a imagem
de cada ramo pela aplicação
. Para o ramo superior, usando
,
,
Portanto para o ramo superior
Como
percorre
,
percorre
, logo
percorre toda a reta
. Assim o ramo superior mapeia para a reta vertical
cobrindo toda a reta inteira.
Para o ramo inferior, com
,
logo
Também aqui, à medida que
varia em
,
percorre toda a reta real. Portanto cada ramo cobre a reta vertical inteira também.
Passo 6
Determinar as orientações. A orientação que a curva imagem herda vem da variação do parâmetro
na curva fonte.
- Ramo superior:
. Quando aumenta, aumenta, então aumenta. Assim, ao percorrer o ramo superior com crescente (isto é, deslocando-se da “perna esquerda” para a “perna direita” da hipérbole superior), a imagem na reta é percorrida no sentido do baixo para o alto (seta para cima). - Ramo inferior:
. Quando aumenta, diminui, então diminui. Assim, ao percorrer o ramo inferior com crescente (da perna esquerda para a perna direita do ramo inferior), a imagem na reta é percorrida no sentido do alto para o baixo (seta para baixo).
Observação sobre multiplicidade: para cada ponto
da reta imagem existem duas pré-imagens na hipérbole, simetricamente opostas (
e
), uma no ramo superior e outra no ramo inferior; ambas mapeiam para o mesmo
.
Passo 7
Resumo geométrico e como esboçar (dicas práticas para a prova):
- A imagem é a reta vertical
no plano , inteira (todos os valores de ). - Como
, a reta fica à esquerda do eixo imaginário. - Esboço: desenhar o eixo real-
e imaginário- , traçar a vertical . Colocar duas setas na vertical: uma apontando para cima associada à imagem do ramo superior da hipérbole, e outra apontando para baixo associada à imagem do ramo inferior. Indicar também que cada ponto da reta tem duas pré-imagens e .
Resposta
A imagem é a reta vertical
(à esquerda da origem, pois
).
O ramo superior da hipérbole mapeia para essa reta com orientação para cima ( aumenta quando o parâmetro
aumenta) e o ramo inferior mapeia para a mesma reta com orientação para baixo (
diminui quando
aumenta).
O ramo superior da hipérbole mapeia para essa reta com orientação para cima (