Encontre e esboce a imagem das hipérboles dadas a seguir pela aplicação w=z^{2}, mostrando as orientações correspondentes.
x^{2}-y^{2}=c_{1}\left(c_{1}<0\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e esboçar a imagem, pela aplicação w=z^{2}, da família de hipérboles
x^{2}-y^{2}=c_{1},\qquad c_{1}<0,
e mostrar as orientações correspondentes.
Informações dadas:
  • A curva fonte no plano z=x+iy é a hipérbole definida por \,x^{2}-y^{2}=c_{1}\, com c_{1}<0.
  • A aplicação é w=z^{2}.
    O objetivo imediato: determinar a geometria da imagem no plano w=u+iv (equação da curva imagem) e a orientação induzida por um parâmetro natural da hipérbole.

Passo 2

Escrever a relação entre as coordenadas de z e de w. Se z=x+iy então
w=z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+i\,(2xy).
Logo, em coordenadas reais
u=x^{2}-y^{2},\qquad v=2xy,
onde u=\Re(w) e v=\Im(w). Vou explicar rapidamente: expandimos (x+iy)^{2} usando distributiva e i^{2}=-1; a parte real é x^{2}-y^{2} e a imaginária é 2xy. Isso é uma fórmula padrão e muito útil para mapear curvas do plano z para o plano w.

Passo 3

Usar a equação da hipérbole na expressão para u. Como a hipérbole é \,x^{2}-y^{2}=c_{1}\,, ao aplicar w=z^{2} obtemos imediatamente
u=x^{2}-y^{2}=c_{1}.
Portanto a imagem da hipérbole fica contida na reta vertical
u=c_{1}
no plano w. Como c_{1}<0, essa reta está à esquerda da origem (parte real negativa). Isso já responde qual é a curva imagem: uma reta vertical.

Passo 4

Verificar quais valores de v aparecem e se toda a reta é preenchida. A parte imaginária é v=2xy. Queremos ver, variando os pontos (x,y) na hipérbole, quais v surgem. É conveniente parametrizar a hipérbole usando funções hiperbólicas. Defina
a=\sqrt{-c_{1}}>0,
então a hipérbole pode ser escrita como
y^{2}-x^{2}=a^{2}.
Uma parametrização padrão (para as duas componentes, superior e inferior) é, para t\in\mathbb{R},
\text{ramo superior:}\quad x=a\operatorname{sinh} t,\qquad y=a\operatorname{cosh} t,
\text{ramo inferior:}\quad x=a\operatorname{sinh} t,\qquad y=-a\operatorname{cosh} t.
Explicando por que isso funciona: \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, então y^{2}-x^{2}=a^{2}(\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t)=a^{2}. Essas fórmulas parametricamente geram toda a hipérbole com y>0 e y<0.

Passo 5

Calcular a imagem w(t) de cada ramo pela aplicação w=z^{2}. Para o ramo superior, usando x=a\operatorname{sinh} t, y=a\operatorname{cosh} t,
u=x^{2}-y^{2}=a^{2}\operatorname{sinh}^{2}t-a^{2}\operatorname{cosh}^{2}t=-a^{2}=c_{1},
v=2xy=2a^{2}\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t=a^{2}\operatorname{sinh}(2t).
Portanto para o ramo superior
w(t)=c_{1}+i\,a^{2}\operatorname{sinh}(2t).
Como t percorre (-\infty,+\infty), \operatorname{sinh}(2t) percorre (-\infty,+\infty), logo v percorre toda a reta (-\infty,+\infty). Assim o ramo superior mapeia para a reta vertical u=c_{1} cobrindo toda a reta inteira.
Para o ramo inferior, com y=-a\operatorname{cosh} t,
v=2xy=2a^{2}\operatorname{sinh} t(-\operatorname{cosh} t)=-a^{2}\operatorname{sinh}(2t),
logo
w(t)=c_{1}-i\,a^{2}\operatorname{sinh}(2t).
Também aqui, à medida que t varia em \mathbb{R}, v percorre toda a reta real. Portanto cada ramo cobre a reta vertical inteira também.

Passo 6

Determinar as orientações. A orientação que a curva imagem herda vem da variação do parâmetro t na curva fonte.
  • Ramo superior: w(t)=c_{1}+i\,a^{2}\operatorname{sinh}(2t). Quando t aumenta, \operatorname{sinh}(2t) aumenta, então v aumenta. Assim, ao percorrer o ramo superior com t crescente (isto é, deslocando-se da “perna esquerda” para a “perna direita” da hipérbole superior), a imagem na reta u=c_{1} é percorrida no sentido do baixo para o alto (seta para cima).
  • Ramo inferior: w(t)=c_{1}-i\,a^{2}\operatorname{sinh}(2t). Quando t aumenta, -\operatorname{sinh}(2t) diminui, então v diminui. Assim, ao percorrer o ramo inferior com t crescente (da perna esquerda para a perna direita do ramo inferior), a imagem na reta u=c_{1} é percorrida no sentido do alto para o baixo (seta para baixo).
Observação sobre multiplicidade: para cada ponto w=c_{1}+i v da reta imagem existem duas pré-imagens na hipérbole, simetricamente opostas ( z e -z), uma no ramo superior e outra no ramo inferior; ambas mapeiam para o mesmo w.

Passo 7

Resumo geométrico e como esboçar (dicas práticas para a prova):
  • A imagem é a reta vertical \,u=c_{1}\, no plano w, inteira (todos os valores de v).
  • Como c_{1}<0, a reta fica à esquerda do eixo imaginário.
  • Esboço: desenhar o eixo real- u e imaginário- v, traçar a vertical u=c_{1}. Colocar duas setas na vertical: uma apontando para cima associada à imagem do ramo superior da hipérbole, e outra apontando para baixo associada à imagem do ramo inferior. Indicar também que cada ponto da reta tem duas pré-imagens z e -z.

Resposta

A imagem é a reta vertical \;u=c_{1}\; (à esquerda da origem, pois c_{1}<0).
O ramo superior da hipérbole mapeia para essa reta com orientação para cima ( v aumenta quando o parâmetro t aumenta) e o ramo inferior mapeia para a mesma reta com orientação para baixo ( v diminui quando t aumenta).

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