Obtenha a função de transferência G(s)=Y(s) / R(s) para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados: [Seção: 3.6.]
\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & -8 \\\\ 0 & 5 & 3 \\\\ -3 & -5 & -4\end{array}\right] \mathbf{x}+\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 4 \\\\ 6\end{array}\right] r
y=\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 6 \end{array}\right] \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado dá um sistema no espaço de estados com matriz de estados, vetor de entrada e vetor de saída e pede a função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}. Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
\dot{\mathbf{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}2 & -3 & -8 \\[4pt] 0 & 5 & 3 \\[4pt] -3 & -5 & -4\end{pmatrix}}_{A}\mathbf{x} +\underbrace{\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 4 \\[4pt] 6\end{pmatrix}}_{B} r
y=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 3 & 6\end{pmatrix}}_{C}\mathbf{x}
  • Pergunta principal: calcular \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}.
  • Dados relevantes: as matrizes A, B e C acima; não foi dado D, então assumimos \displaystyle D=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Fórmula que usamos (fórmula padrão do espaço de estados para função de transferência):
\displaystyle G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B + D.
Aqui:
  • \displaystyle s é a variável complexa do domínio de Laplace.
  • I é a matriz identidade 3\times3.
  • (sI-A)^{-1} é a inversa da matriz (sI-A).
  • B e C são os vetores dados.
  • Como D=0, simplificamos para \displaystyle G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B.
Método prático escolhido: em vez de calcular a inversa completa (sI-A)^{-1}, vamos resolver o sistema linear simbólico
(sI-A)\mathbf{v}=B,
pois \mathbf{v}=(sI-A)^{-1}B. Depois calculamos \displaystyle G(s)=C\mathbf{v}. Essa abordagem evita calcular a matriz inversa inteira e costuma ser mais direta.

Passo 3

Calculo de (sI-A). Subtraindo A de sI obtemos:
sI-A=\begin{pmatrix} s-2 & 3 & 8 \\[4pt] 0 & s-5 & -3 \\[4pt] 3 & 5 & s+4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevemos [(sI-A)\mathbf{v}=B) com \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\\[4pt] v_3\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix}. Isso dá o sistema de equações:
\begin{cases} (s-2)v_1 + 3 v_2 + 8 v_3 = 1,\\[6pt] (s-5)v_2 - 3 v_3 = 4,\\[6pt] 3 v_1 + 5 v_2 + (s+4) v_3 = 6. \end{cases}
Vamos resolver em ordem vantajosa: da segunda equação isolamos v_2\] em função de \(v_3, depois substituímos nas demais.]

Passo 5

Isolando v_2 pela segunda equação:
(s-5)v_2 -3 v_3 = 4 \quad\Rightarrow\quad v_2=\frac{4+3 v_3}{s-5}.
Expliquei: basta passar o -3v_3 para o outro lado e dividir por (s-5).

Passo 6

Isolamos v_1 a partir da primeira equação (vai ser útil para substituir na terceira):
(s-2)v_1 = 1 - 3 v_2 - 8 v_3 \quad\Rightarrow\quad v_1=\frac{1-3 v_2 -8 v_3}{s-2}.

Passo 7

Substituímos v_1 (da Passo 6) na terceira equação para obter uma equação só em v_2 e v_3, e então substituímos a expressão de v_2 (da Passo 5) para ficar apenas em v_3.
Terceira equação inicial:
3 v_1 +5 v_2 + (s+4) v_3 = 6.
Substituindo v_1=\dfrac{1-3 v_2 -8 v_3}{s-2}:
3\cdot\frac{1-3 v_2 -8 v_3}{s-2} + 5 v_2 + (s+4)v_3 = 6.
Multiplicamos ambos os lados por (s-2) para eliminar o denominador:
3(1-3 v_2 -8 v_3) + (s-2)(5 v_2 + (s+4)v_3) = 6(s-2).
Expandindo e agrupando termos (mostrar os passos de expansão):
  • Expandindo 3(1-3 v_2 -8 v_3): 3 -9 v_2 -24 v_3.
  • Expandindo (s-2)(5 v_2 + (s+4)v_3): 5(s-2)v_2 + (s-2)(s+4)v_3.
  • O lado direito é 6s-12.
Somando:
3 -9 v_2 -24 v_3 + 5(s-2)v_2 + (s-2)(s+4)v_3 = 6s-12.
Agrupando os coeficientes de v_2 e v_3:
(5s-19)\,v_2 + \bigl(s^2+2s-32\bigr)\,v_3 + 3 = 6s-12.
Passando o 3 para o outro lado:
(5s-19)\,v_2 + \bigl(s^2+2s-32\bigr)\,v_3 = 6s-15.
Agora substituímos v_2=\dfrac{4+3 v_3}{s-5}:
(5s-19)\frac{4+3 v_3}{s-5} + \bigl(s^2+2s-32\bigr)v_3 = 6s-15.
Multiplicando ambos os lados por (s-5) para eliminar o denominador:
(5s-19)(4+3 v_3) + \bigl(s^2+2s-32\bigr)(s-5)\,v_3 = (6s-15)(s-5).
Expandindo os termos que envolvem v_3 e os constantes e reunindo, obtemos uma equação polinomial na forma
\bigl(s^3 -3s^2 -27 s +103\bigr)\,v_3 = 6s^2 -65 s +151.
Observação importante: o polinômio \displaystyle s^3 -3s^2 -27 s +103 que aparece multiplicando v_3 é exatamente \det(sI-A) (pode checar expandindo o determinante de (sI-A)). Portanto
v_3=\frac{6 s^2 -65 s +151}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}.

Passo 8

Agora obtemos v_2 em forma racional com denominador \det(sI-A). Lembrando v_2=\dfrac{4+3 v_3}{s-5}, substituímos v_3=\dfrac{N_3}{D} com N_3=6 s^2 -65 s +151 e D=s^3 -3 s^2 -27 s +103:
v_2=\frac{4 + 3\frac{N_3}{D}}{s-5}=\frac{4D + 3N_3}{(s-5)D}.
O numerador \;4D+3N_3=4s^3+6s^2-303 s+865\; é divisível por (s-5). Fazendo a divisão polinomial por (s-5) (ou uso de divisão sintética em s=5), obtemos o quociente
4s^2 +26 s -173.
Logo podemos escrever v_2 com denominador D:
v_2=\frac{4s^2 +26 s -173}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}.

Passo 9

Agora obtemos v_1. Lembrando v_1=\dfrac{1-3 v_2 -8 v_3}{s-2}. Substituímos v_2=\dfrac{N_2}{D} e v_3=\dfrac{N_3}{D} com N_2=4s^2+26s-173 e N_3=6s^2-65s+151. Multiplicando por D e reunindo termos obtemos o numerador
D - 3N_2 - 8 N_3 = s^3 -63 s^2 +415 s -586.
Esse polinômio é divisível por (s-2). Fazendo a divisão por (s-2) obtemos o quociente
s^2 -61 s +293.
Portanto
v_1=\frac{s^2 -61 s +293}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}.

Passo 10

Finalmente calculamos a função de transferência:
G(s)=C\mathbf{v}= \begin{pmatrix}1 & 3 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\\[4pt] v_3\end{pmatrix} = v_1 + 3 v_2 + 6 v_3.
Substituindo v_1=\dfrac{N_1}{D}, v_2=\dfrac{N_2}{D}, v_3=\dfrac{N_3}{D} com
N_1=s^2 -61 s +293,\quad N_2=4 s^2 +26 s -173,\quad N_3=6 s^2 -65 s +151,\quad D=s^3 -3 s^2 -27 s +103,
temos
G(s)=\frac{N_1 + 3N_2 + 6N_3}{D}.
Somando os numeradores:
N_1 + 3N_2 + 6N_3 = 49 s^2 -373 s +680.
Portanto a função de transferência do sistema é
G(s)=\frac{49 s^2 -373 s +680}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}.]

Resposta

G(s)=\frac{49 s^2 -373 s +680}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}

Exercícios relacionados