Obtenha a função de transferência G(s)=Y(s) / R(s) para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados: [Seção: 3.6.] \dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & -8 \\\\ 0 & 5 & 3 \\\\ -3 & -5 & -4\end{array}\right] \mathbf{x}+\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 4 \\\\ 6\end{array}\right] r
O enunciado dá um sistema no espaço de estados com matriz de estados, vetor de entrada e vetor de saída e pede a função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}. Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
Dados relevantes: as matrizes A, B e C acima; não foi dado D, então assumimos \displaystyle D=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.]
Passo 2
Fórmula que usamos (fórmula padrão do espaço de estados para função de transferência):
\displaystyle G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B + D.
Aqui:
\displaystyle s é a variável complexa do domínio de Laplace.
I é a matriz identidade 3\times3.
(sI-A)^{-1} é a inversa da matriz (sI-A).
B e C são os vetores dados.
Como D=0, simplificamos para \displaystyle G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B.
Método prático escolhido: em vez de calcular a inversa completa (sI-A)^{-1}, vamos resolver o sistema linear simbólico
(sI-A)\mathbf{v}=B,
pois \mathbf{v}=(sI-A)^{-1}B. Depois calculamos \displaystyle G(s)=C\mathbf{v}. Essa abordagem evita calcular a matriz inversa inteira e costuma ser mais direta.
Escrevemos [(sI-A)\mathbf{v}=B) com \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\\[4pt] v_3\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix}. Isso dá o sistema de equações:
Substituímos v_1 (da Passo 6) na terceira equação para obter uma equação só em v_2 e v_3, e então substituímos a expressão de v_2 (da Passo 5) para ficar apenas em v_3.
Expandindo os termos que envolvem v_3 e os constantes e reunindo, obtemos uma equação polinomial na forma
\bigl(s^3 -3s^2 -27 s +103\bigr)\,v_3 = 6s^2 -65 s +151.
Observação importante: o polinômio \displaystyle s^3 -3s^2 -27 s +103 que aparece multiplicando v_3 é exatamente \det(sI-A) (pode checar expandindo o determinante de (sI-A)). Portanto
v_3=\frac{6 s^2 -65 s +151}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}.
Passo 8
Agora obtemos v_2 em forma racional com denominador \det(sI-A). Lembrando v_2=\dfrac{4+3 v_3}{s-5}, substituímos v_3=\dfrac{N_3}{D} com N_3=6 s^2 -65 s +151 e D=s^3 -3 s^2 -27 s +103:
O numerador \;4D+3N_3=4s^3+6s^2-303 s+865\; é divisível por (s-5). Fazendo a divisão polinomial por (s-5) (ou uso de divisão sintética em s=5), obtemos o quociente
4s^2 +26 s -173.
Logo podemos escrever v_2 com denominador D:
v_2=\frac{4s^2 +26 s -173}{s^3 -3 s^2 -27 s +103}.
Passo 9
Agora obtemos v_1. Lembrando v_1=\dfrac{1-3 v_2 -8 v_3}{s-2}. Substituímos v_2=\dfrac{N_2}{D} e v_3=\dfrac{N_3}{D} com N_2=4s^2+26s-173 e N_3=6s^2-65s+151. Multiplicando por D e reunindo termos obtemos o numerador
D - 3N_2 - 8 N_3 = s^3 -63 s^2 +415 s -586.
Esse polinômio é divisível por (s-2). Fazendo a divisão por (s-2) obtemos o quociente