Escreva inequações para descrever a região dada.
37. A região constituida em todos os pontos entre (mas não sobre) as esferas de raio r e R centradas na origem, onde r < R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever inequações que descrevem uma região específica no espaço. A gente está falando de pontos que estão entre duas esferas, mas não sobre elas. As esferas têm raios e , sendo que , e ambas estão centradas na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre a equação de uma esfera e como representar regiões entre elas usando inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. Uma esfera centrada na origem (0, 0, 0) com raio é descrita por:
Aqui, , e são as coordenadas de qualquer ponto na superfície da esfera.

Passo 3

Como queremos todos os pontos entre as esferas de raio e , mas não sobre elas, precisamos considerar as distâncias desses pontos à origem. A distância de um ponto à origem é dada por:
Queremos que essa distância seja maior que e menor que . Em termos matemáticos, isso se traduz em duas inequações:

Passo 4

Para simplificar, podemos combinar essas duas inequações em uma única expressão que engloba as duas condições simultaneamente. Assim, a região que estamos descrevendo é onde:

Resposta

As inequações que descrevem a região entre as esferas são:

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