Escreva as integrais abaixo em duas ordens de integração diferentes das dadas e esboce o domínio de integração:
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a integral
em duas ordens de integração diferentes da dada e esboçar o domínio de integração.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A integral original tem limites
de a , para cada tem de a , e para cada tem de a . - Preciso escrever duas integrais equivalentes com ordens de integração diferentes da ordem
. - Preciso descrever/esboçar o domínio de integração correspondente.
Passo 2
Identificar o domínio
descrito pela integral original. A partir dos limites temos as desigualdades
Essas três condições podem ser reescritas de forma conjunta como
Portanto o domínio é
Esse é um tetraedro (simplesx) com vértices em
,
,
e
.
Passo 3
Como esboçar o domínio (orientação prática para a prova): desenhe os eixos
formando o primeiro octante; marque os interceptos da face
nos pontos
,
e
e ligue-os formando um triângulo. O tetraedro é a região entre esse triângulo e a origem, limitada pelas três paredes dos planos coordenados. Também é útil desenhar as projeções: a projeção em qualquer plano coordenado (por exemplo o plano
) é o triângulo
.
Passo 4
Estratégia para mudar a ordem de integração (explicação didática): para escolher os limites numa dada ordem, siga estes passos:
- Escolha qual variável será integrada por dentro (a mais interna).
- Para essa variável, use a desigualdade
para isolar esta variável em função das outras duas, sempre lembrando das restrições de positividade. - Para os limites intermediários e externos, projete
nas coordenadas restantes e determine a região de projeção (normalmente um triângulo) e seus limites.
Vou aplicar isso para construir duas ordens distintas.
Passo 5
Primeira ordem alternativa: integrar em
(ou seja, inner
, depois
, depois
).
- Para
interno: a partir de e obtemos
- Para
intermediário: deve ser não-negativo e tal que exista com . Isso requer , logo
- Para
externo: varia entre e (pois e quando ).
Assim a integral na ordem
fica
Passo 6
Segunda ordem alternativa: integrar em
(inner
, depois
, depois
).
- Para
interno: a partir de e obtemos
- Para
intermediário: para um fixo, precisa ser e satisfazer , ou seja . Então
- Para
externo: varia entre e .
Assim a integral na ordem
fica
Passo 7
Comentário final de verificação (como checar na prova): para cada nova ordem escolha um ponto típico (por exemplo
e
que satisfaz
) e veja se ele está incluído pelos novos limites; também verifique que os limites das integrais externas descrevem a projeção do domínio no plano das duas variáveis externas (triângulo
).