Escreva as integrais abaixo em duas ordens de integração diferentes das dadas e esboce o domínio de integração:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-z} f(x, y, z) d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-z} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx
em duas ordens de integração diferentes da dada e esboçar o domínio de integração.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A integral original tem limites x de 0 a 1, para cada x tem z de 0 a 1-x, e para cada (x,z) tem y de 0 a 1-x-z.
  • Preciso escrever duas integrais equivalentes com ordens de integração diferentes da ordem \,dy\,dz\,dx.
  • Preciso descrever/esboçar o domínio de integração correspondente.

Passo 2

Identificar o domínio D descrito pela integral original. A partir dos limites temos as desigualdades
0\le x\le 1,\qquad 0\le z\le 1-x,\qquad 0\le y\le 1-x-z.
Essas três condições podem ser reescritas de forma conjunta como
x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad x+y+z\le 1.
Portanto o domínio é
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\; x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0,\; x+y+z\le 1\}.
Esse é um tetraedro (simplesx) com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Passo 3

Como esboçar o domínio (orientação prática para a prova): desenhe os eixos x,y,z formando o primeiro octante; marque os interceptos da face x+y+z=1 nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) e ligue-os formando um triângulo. O tetraedro é a região entre esse triângulo e a origem, limitada pelas três paredes dos planos coordenados. Também é útil desenhar as projeções: a projeção em qualquer plano coordenado (por exemplo o plano xy) é o triângulo \{(x,y): x\ge0,\; y\ge0,\; x+y\le1\}.

Passo 4

Estratégia para mudar a ordem de integração (explicação didática): para escolher os limites numa dada ordem, siga estes passos:
  1. Escolha qual variável será integrada por dentro (a mais interna).
  2. Para essa variável, use a desigualdade x+y+z\le 1 para isolar esta variável em função das outras duas, sempre lembrando das restrições de positividade.
  3. Para os limites intermediários e externos, projete D nas coordenadas restantes e determine a região de projeção (normalmente um triângulo) e seus limites.
    Vou aplicar isso para construir duas ordens distintas.

Passo 5

Primeira ordem alternativa: integrar em \,dz\,dy\,dx (ou seja, inner z, depois y, depois x).
  • Para z interno: a partir de x+y+z\le 1 e z\ge0 obtemos
0\le z \le 1-x-y.
  • Para y intermediário: y deve ser não-negativo e tal que exista z\ge0 com z\le 1-x-y. Isso requer 1-x-y\ge 0, logo
0\le y \le 1-x.
  • Para x externo: x varia entre 0 e 1 (pois x\ge0 e x\le 1 quando y=z=0).
Assim a integral na ordem \,dz\,dy\,dx fica
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 6

Segunda ordem alternativa: integrar em \,dx\,dy\,dz (inner x, depois y, depois z).
  • Para x interno: a partir de x+y+z\le 1 e x\ge0 obtemos
0\le x \le 1-y-z.
  • Para y intermediário: para um z fixo, y precisa ser \ge0 e satisfazer 1-y-z\ge 0, ou seja y\le 1-z. Então
0\le y \le 1-z.
  • Para z externo: z varia entre 0 e 1.
Assim a integral na ordem \,dx\,dy\,dz fica
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1-z}\int_{x=0}^{1-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

Passo 7

Comentário final de verificação (como checar na prova): para cada nova ordem escolha um ponto típico (por exemplo (x,y,z)=(0,0,0) e (0,1/2,1/2) que satisfaz x+y+z\le1) e veja se ele está incluído pelos novos limites; também verifique que os limites das integrais externas descrevem a projeção do domínio no plano das duas variáveis externas (triângulo u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1).

Resposta

\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1-z}\int_{x=0}^{1-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

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