Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=z^{2}, S limitado por z=0, x^{2}+z=1 e y^{2}+z=1

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla da função \,f(x,y,z)=z^{2}\, sobre a região S limitada pelas superfícies \,z=0,\;x^{2}+z=1 e y^{2}+z=1.
Informações dadas (resumindo):
  • A função a integrar é \,f(x,y,z)=z^{2}.
  • As superfícies que limitam S são \,z=0 (plano) e as superfícies \,z=1-x^{2} e \,z=1-y^{2} (obtidas de x^{2}+z=1 e y^{2}+z=1).
  • Preciso calcular \displaystyle \iiint_{S} z^{2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 2

Interpretação da região S e projeção no plano xy:
  • A desigualdade imposta por x^{2}+z=1 significa que, dentro de S, devemos ter \,z\le 1-x^{2}.
  • A desigualdade imposta por y^{2}+z=1 significa que, dentro de S, devemos ter \,z\le 1-y^{2}.
  • Também temos \,z\ge 0.
    Portanto, para cada ponto (x,y) no domínio de projeção, z varia de 0 até \min\{1-x^{2},\,1-y^{2}\}.
    O domínio de projeção no plano xy é o conjunto dos (x,y) tais que ambas as alturas superiores são não-negativas, ou seja \,1-x^{2}\ge0 e \,1-y^{2}\ge0. Isso implica |x|\le1 e |y|\le1. Logo a projeção é o quadrado \,[-1,1]\times[-1,1].

Passo 3

Escrever a integral tripla como iterada (usando a projeção no plano xy):
\iiint_{S} z^{2}\,dx\,dy\,dz = \iint_{(x,y)\in[-1,1]^2} \left(\int_{z=0}^{z=\min(1-x^{2},\,1-y^{2})} z^{2}\,dz\right) dx\,dy.
Aqui a integral interior é a integral em z para um ponto fixo (x,y).

Passo 4

Calcular a integral interna em z. A primitiva de z^{2} é \tfrac{z^{3}}{3}. Então, para um limite superior Z(x,y)=\min(1-x^{2},1-y^{2}), temos
\int_{0}^{Z(x,y)} z^{2}\,dz = \left.\frac{z^{3}}{3}\right|_{0}^{Z(x,y)} = \frac{1}{3}\big(Z(x,y)\big)^{3}.
Portanto a integral total é
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \iint_{[-1,1]^2} \frac{1}{3}\big(\min(1-x^{2},1-y^{2})\big)^{3}\,dx\,dy.

Passo 5

Reescrever a expressão usando \min(1-x^{2},1-y^{2}) = 1-\max(x^{2},y^{2}). Assim
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \frac{1}{3}\iint_{[-1,1]^2} \big(1-\max(x^{2},y^{2})\big)^{3}\,dx\,dy.
Explico: \min(1-a,1-b)=1-\max(a,b) para quaisquer a,b, por isso substituí assim.

Passo 6

Dividir o quadrado [-1,1]^2 em duas regiões onde a função \max(x^{2},y^{2}) toma uma expressão simples:
  • Região R_1: |x|\ge |y|. Nessa região \max(x^{2},y^{2})=x^{2}.
  • Região R_2: |y|>|x|. Nessa região \max(x^{2},y^{2})=y^{2}.
    As duas regiões têm simetria trocando x\leftrightarrow y, portanto a integral sobre o quadrado é duas vezes a integral sobre R_1. Logo
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \frac{2}{3} \iint_{R_1} \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx\,dy.

Passo 7

Parametrizar R_1 convenientemente: para x variando em [-1,1], y varia entre -|x| e |x|. Então
\iint_{R_1} \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx\,dy = \int_{x=-1}^{1} \left(\int_{y=-|x|}^{|x|} \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dy\right) dx.
Como o integrando \big(1-x^{2}\big)^{3} não depende de y, a integral interna em y é simplesmente 2|x|\big(1-x^{2}\big)^{3}. Portanto
\iint_{R_1} \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx\,dy = \int_{-1}^{1} 2|x| \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx.

Passo 8

Substituir na fórmula total e usar a simetria do integrando: como |x|(1-x^{2})^{3} é uma função par (mesmo), temos
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \frac{2}{3}\cdot \int_{-1}^{1} 2|x| \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = \frac{4}{3}\int_{-1}^{1} |x| \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx.
Como a integranda é par,
\int_{-1}^{1} |x| \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = 2\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx.
Portanto
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \frac{4}{3}\cdot 2\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = \frac{8}{3}\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx.

Passo 9

Calcular a integral unidimensional com substituição: seja \,u=1-x^{2}. Então \,du=-2x\,dx ou \,x\,dx=-\tfrac{1}{2}du. Quando x=0 tem u=1 e quando x=1 tem u=0. Assim
\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = \int_{u=1}^{0} u^{3}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{3}\,du.
Calcule a integral de potência:
\int_{0}^{1} u^{3}\,du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Logo
\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{8}.

Passo 10

Voltar ao valor total usando o resultado anterior:
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \frac{8}{3}\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{3}.
Fiz todas as contas à mão: substituição, uso de simetria e partição do domínio para lidar com \max(x^{2},y^{2}).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados