Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados: f(x, y, z)=z^{2}, S limitado por z=0, x^{2}+z=1 e y^{2}+z=1
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla da função \,f(x,y,z)=z^{2}\, sobre a região S limitada pelas superfícies \,z=0,\;x^{2}+z=1 e y^{2}+z=1.
Informações dadas (resumindo):
A função a integrar é \,f(x,y,z)=z^{2}.
As superfícies que limitam S são \,z=0 (plano) e as superfícies \,z=1-x^{2} e \,z=1-y^{2} (obtidas de x^{2}+z=1 e y^{2}+z=1).
A desigualdade imposta por x^{2}+z=1 significa que, dentro de S, devemos ter \,z\le 1-x^{2}.
A desigualdade imposta por y^{2}+z=1 significa que, dentro de S, devemos ter \,z\le 1-y^{2}.
Também temos \,z\ge 0.
Portanto, para cada ponto (x,y) no domínio de projeção, z varia de 0 até \min\{1-x^{2},\,1-y^{2}\}.
O domínio de projeção no plano xy é o conjunto dos (x,y) tais que ambas as alturas superiores são não-negativas, ou seja \,1-x^{2}\ge0 e \,1-y^{2}\ge0. Isso implica |x|\le1 e |y|\le1. Logo a projeção é o quadrado \,[-1,1]\times[-1,1].
Passo 3
Escrever a integral tripla como iterada (usando a projeção no plano xy):
Explico: \min(1-a,1-b)=1-\max(a,b) para quaisquer a,b, por isso substituí assim.
Passo 6
Dividir o quadrado [-1,1]^2 em duas regiões onde a função \max(x^{2},y^{2}) toma uma expressão simples:
Região R_1: |x|\ge |y|. Nessa região \max(x^{2},y^{2})=x^{2}.
Região R_2: |y|>|x|. Nessa região \max(x^{2},y^{2})=y^{2}.
As duas regiões têm simetria trocando x\leftrightarrow y, portanto a integral sobre o quadrado é duas vezes a integral sobre R_1. Logo
\int_{-1}^{1} |x| \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = 2\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx.
Portanto
\iiint_{S} z^{2}\,dV = \frac{4}{3}\cdot 2\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = \frac{8}{3}\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx.
Passo 9
Calcular a integral unidimensional com substituição: seja \,u=1-x^{2}. Então \,du=-2x\,dx ou \,x\,dx=-\tfrac{1}{2}du. Quando x=0 tem u=1 e quando x=1 tem u=0. Assim
\int_{0}^{1} x \big(1-x^{2}\big)^{3}\,dx = \int_{u=1}^{0} u^{3}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{3}\,du.