Escreva
\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} em termos da base:
\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\in\mathbb{R}^3
e a base formada pelos vetores
v_1=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\quad v_2=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\quad v_3=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right].
A pergunta é: quais escalares a,b,c satisfazem
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = \left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]?
Ou seja, expressar o vetor dado como combinação linear desses três vetores da base.

Passo 2

Começamos escrevendo a combinação linear com incógnitas a,b,c. Temos
a\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right] + b\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right].

Passo 3

Igualando componente a componente (isto é, olhando para cada linha do vetor) obtemos o sistema
\begin{cases} a + c = x,\\[4pt] a + b = y,\\[4pt] b + c = z. \end{cases}
Explicação rápida: a primeira componente vem de 1\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c, a segunda de 1\cdot a + 1\cdot b + 0\cdot c, e a terceira de 0\cdot a + 1\cdot b + 1\cdot c.]

Passo 4

Vamos isolar a+b+c somando as três equações. Somando membro a membro:
(a+c)+(a+b)+(b+c)=x+y+z.
No lado esquerdo cada uma das variáveis aparece duas vezes, então
2(a+b+c)=x+y+z \quad\Rightarrow\quad a+b+c=\frac{x+y+z}{2}.
Isso é útil para checar consistência e também para obter cada incógnita se necessário.

Passo 5

Agora usamos eliminação simples para encontrar b. Observe que
(a+b)+(b+c)-(a+c)=y+z-x.
No lado esquerdo os a e c se cancelam, ficando 2b. Portanto
2b = y+z-x \quad\Rightarrow\quad b=\frac{-x+y+z}{2}.
Aqui a ideia foi combinar equações de modo a cancelar a e c e ficar só com b.

Passo 6

De modo análogo, isolamos c combinando as equações apropriadas. Tomando
(a+c)+(b+c)-(a+b)=x+z-y,
o lado esquerdo vira 2c. Assim
2c = x+z-y \quad\Rightarrow\quad c=\frac{x-y+z}{2}.

Passo 7

Finalmente obtemos a usando, por exemplo, a+c=x. Substituindo c achamos
a = x - c = x - \frac{x-y+z}{2} = \frac{x+y-z}{2}.
Também dá para obter a a partir de a+b=y e o valor de b; resulta no mesmo a.

Passo 8

Portanto os coeficientes que expressam \left[\begin{array}{l}x\y\z\end{array}\right] na base dada são
a=\frac{x+y-z}{2},\quad b=\frac{-x+y+z}{2},\quad c=\frac{x-y+z}{2}.
Podemos montar a combinação linear final substituindo esses coeficientes nos vetores da base e, se quiser, checar que a componente 1 é a+c=x, componente 2 é a+b=y e componente 3 é b+c=z — todas fecham certinho.

Resposta

\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] = \frac{x+y-z}{2}\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right] + \frac{-x+y+z}{2}\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] + \frac{x-y+z}{2}\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]

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