Encontre uma base para o espacio solução do sistema homogêneo dado. \left\{\begin{array}{c}2 x+3 y-4 z=0 \\\ x-y+z=0 \\\\ 2 x+8 y-10 z=0\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma base para o espaço solução do sistema homogêneo.
Informações dadas (as três equações do sistema):
Variáveis desconhecidas: x,y,z.
Objetivo concreto: descrever todos os vetores (x,y,z) que satisfazem as três equações e entregar um conjunto de vetores que formam uma base desse conjunto de soluções.]
Passo 2
Estratégia (apenas descrição do que vamos executar, sem resolver ainda): vamos transformar o sistema em uma forma mais simples usando operações elementares sobre as linhas da matriz dos coeficientes (porque o sistema é homogêneo, o termo independente é o vetor nulo). A ideia é obter uma forma escalonada para identificar pivôs (variáveis dependentes) e variáveis livres, depois parametrizar as soluções e escolher vetores que gerem todo o espaço solução. Operações elementares preservam o conjunto de soluções.
Passo 3
Escrevendo a matriz dos coeficientes (sem coluna dos termos independentes, já que são todos zeros):
Isso mostra que temos dois pivôs (coluna 1 e coluna 2) e uma linha nula; ou seja, posto da matriz é 2.]
Passo 6
Interpretação dos pivôs e variáveis livres: como há três variáveis x,y,z e o posto é 2, a dimensão do espaço solução será 3-2=1. Logo haverá uma variável livre. Observando a forma escalonada, as variáveis correspondentes às colunas com pivôs são x e y; a variável livre é z.
Para facilitar, simplifico a segunda linha dividindo por 5:
Se eu definir novo parâmetro s=\tfrac{t}{5}, a solução fica
(x,y,z)=s(1,6,5),\quad s\in\mathbb{R}.
Isto mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor (1,6,5).
Passo 9
Conclusão e verificação rápida: o espaço solução é a reta gerada por (1,6,5). Verifico rapidamente substituindo (x,y,z)=(1,6,5) nas equações originais:
Primeira equação: 2\cdot1+3\cdot6-4\cdot5 = 2+18-20=0.
Segunda: 1-6+5=0.
Terceira: 2\cdot1+8\cdot6-10\cdot5 = 2+48-50=0.
Tudo confere, então (1,6,5) é solução não nula e gera todo o espaço solução.