Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial V.
V=\mathcal{M}_{2 \times 2} :
\left\{\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} -5 & 1 \\\\ 0 & 6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 0 & -7 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o conjunto dado é uma base do espaço vetorial V.
O espaço é V=\mathcal{M}_{2\times2} (matrizes 2\times2). O conjunto de vetores (matrizes) fornecido é
A_1=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}-5 & 1 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix},\qquad A_4=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & -7\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os quatro vetores A_1,A_2,A_3,A_4 em V. A pergunta é apenas se esse conjunto é uma base de V.]

Passo 2

O que significa “ser uma base” (aula rápida): um conjunto de vetores é base de V se satisfaz duas propriedades simultâneas:
\text{(i)}\\ \text{os vetores são linearmente independentes,}\qquad \text{(ii)}\\ \text{eles geram (ou "espalham") todo }V.ã
Uma observação útil que vamos usar: \mathcal{M}_{2\times2} tem dimensão 4 porque uma matriz 2\times2 tem 4 entradas livres. Uma base canônica é, por exemplo,
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Como temos exatamente 4 vetores, uma estratégia prática é verificar linear independência: se os 4 forem independentes, então automaticamente formam base (porque número de vetores = dimensão). Se forem dependentes, não são base.]

Passo 3

Vamos olhar as entradas das matrizes: identifique as 4 coordenadas de uma matriz M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} na ordem (a,b,c,d) correspondendo a (1,1),(1,2),(2,1),(2,2). Transformando os A_i em vetores coluna na ordem acima:
A_1\mapsto (3,\,1,\,0,\,0),\qquad A_2\mapsto (3,\,2,\,0,\,0),
A_3\mapsto (-5,\,1,\,0,\,6),\qquad A_4\mapsto (0,\,1,\,0,\,-7).
Repare um fato óbvio e importante: a terceira coordenada ( c, que é a entrada (2,1) da matriz) é 0 em todas as quatro matrizes. Ou seja, todos os A_i têm a entrada (2,1) igual a zero.]

Passo 4

Interpretação geométrica didática: todos os A_i pertencem ao subespaço
S=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&d\end{pmatrix}\mid a,b,d\in\mathbb{R}\right\}.
Mostro uma base de S: \;E_{11},E_{12},E_{22} geram S. Logo \dim S=3. Como os quatro vetores A_1,A_2,A_3,A_4 estão todos em S, eles estão contidos num espaço de dimensão 3.
Teorema útil (explicado): qualquer conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço que o contém é linearmente dependente. Aqui temos 4 vetores em um espaço de dimensão 3, então necessariamente os 4 são linearmente dependentes. Portanto a propriedade (i) de base (linear independência) falha.]

Passo 5

Mostro uma combinação linear explícita não trivial que zera (para ficar mais concreto). Há coeficientes inteiros que funcionam; por exemplo, tomando 109, -74, 21, 18 como coeficientes:
109\,A_1 \;-\;74\,A_2 \;+\;21\,A_3 \;+\;18\,A_4 \;=\; \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Verificação rápida (cada entrada):
  • entrada (1,1): 3\cdot109 +3\cdot(-74)+(-5)\cdot21 +0\cdot18 = 327-222-105+0=0;
  • entrada (1,2): 1\cdot109 +2\cdot(-74)+1\cdot21 +1\cdot18 =109-148+21+18=0;
  • entrada (2,1): sempre 0 porque todas têm essa entrada zero;
  • entrada (2,2): 0+0+6\cdot21 +(-7)\cdot18 =126-126=0.
    Isso confirma dependência linear (coeficientes não todos nulos que dão combinação nula).]

Passo 6

Além de serem linearmente dependentes, os vetores não geram todo V: qualquer combinação linear de A_1,\dots,A_4 terá sempre a entrada (2,1) igual a zero, porque cada A_i tem essa entrada zero. Assim não é possível obter, por exemplo, E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} como combinação linear. Logo a propriedade (ii) de geração também falha.]

Passo 7

Conclusão final resumida: o conjunto não é base de V porque é linearmente dependente (e de fato não gera todo V, já que todas as matrizes do conjunto têm entrada (2,1) igual a zero).

Resposta

Não; o conjunto não é uma base de V.

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