O enunciado pede: determinar se o conjunto dado é uma base do espaço vetorial V.
O espaço é V=\mathcal{M}_{2\times2} (matrizes 2\times2). O conjunto de vetores (matrizes) fornecido é
Informações relevantes dadas: os quatro vetores A_1,A_2,A_3,A_4 em V. A pergunta é apenas se esse conjunto é uma base de V.]
Passo 2
O que significa “ser uma base” (aula rápida): um conjunto de vetores é base de V se satisfaz duas propriedades simultâneas:
\text{(i)}\\ \text{os vetores são linearmente independentes,}\qquad \text{(ii)}\\ \text{eles geram (ou "espalham") todo }V.ã
Uma observação útil que vamos usar: \mathcal{M}_{2\times2} tem dimensão 4 porque uma matriz 2\times2 tem 4 entradas livres. Uma base canônica é, por exemplo,
Como temos exatamente 4 vetores, uma estratégia prática é verificar linear independência: se os 4 forem independentes, então automaticamente formam base (porque número de vetores = dimensão). Se forem dependentes, não são base.]
Passo 3
Vamos olhar as entradas das matrizes: identifique as 4 coordenadas de uma matriz M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} na ordem (a,b,c,d) correspondendo a (1,1),(1,2),(2,1),(2,2). Transformando os A_i em vetores coluna na ordem acima:
Repare um fato óbvio e importante: a terceira coordenada (c, que é a entrada (2,1) da matriz) é 0 em todas as quatro matrizes. Ou seja, todos os A_i têm a entrada (2,1) igual a zero.]
Passo 4
Interpretação geométrica didática: todos os A_i pertencem ao subespaço
Mostro uma base de S: \;E_{11},E_{12},E_{22} geram S. Logo \dim S=3. Como os quatro vetores A_1,A_2,A_3,A_4 estão todos em S, eles estão contidos num espaço de dimensão 3.
Teorema útil (explicado): qualquer conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço que o contém é linearmente dependente. Aqui temos 4 vetores em um espaço de dimensão 3, então necessariamente os 4 são linearmente dependentes. Portanto a propriedade (i) de base (linear independência) falha.]
Passo 5
Mostro uma combinação linear explícita não trivial que zera (para ficar mais concreto). Há coeficientes inteiros que funcionam; por exemplo, tomando 109, -74, 21, 18 como coeficientes:
entrada (2,1): sempre 0 porque todas têm essa entrada zero;
entrada (2,2): 0+0+6\cdot21 +(-7)\cdot18 =126-126=0.
Isso confirma dependência linear (coeficientes não todos nulos que dão combinação nula).]
Passo 6
Além de serem linearmente dependentes, os vetores não geram todo V: qualquer combinação linear de A_1,\dots,A_4 terá sempre a entrada (2,1) igual a zero, porque cada A_i tem essa entrada zero. Assim não é possível obter, por exemplo, E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} como combinação linear. Logo a propriedade (ii) de geração também falha.]
Passo 7
Conclusão final resumida: o conjunto não é base de V porque é linearmente dependente (e de fato não gera todo V, já que todas as matrizes do conjunto têm entrada (2,1) igual a zero).