( ) 8. Escreva a Lei de Fourier. Apresente uma análise dimensional para o \nabla T.

Passo 1

O enunciado pede dois itens:
1. Escrever a Lei de Fourier para condução de calor, que relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperatura.
2. Fazer a análise dimensional do operador \nabla T, ou seja, determinar as dimensões físicas de um gradiente de temperatura.

Passo 2

A Lei de Fourier em forma vetorial diferencial diz que o vetor fluxo de calor por unidade de área \mathbf{q} (energia transportada por tempo e por área) é proporcional ao gradiente de temperatura, com constante de proporcionalidade k (condutividade térmica):
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T.
O sinal negativo indica que o calor flui na direção de queda de temperatura.

Passo 3

Para analisar dimensionalmente \nabla T, lembramos que o operador \nabla é \partial/ \partialx, logo tem dimensão de comprimento inverso \mathrm{L}^{-1}. A temperatura T tem dimensão termodinâmica \Theta.
Portanto,
[\nabla T] \;=\; \frac{[T]}{[\text{comprimento}]} \;=\;\Theta\,\mathrm{L}^{-1}.
Em unidades SI isso corresponde a kelvin por metro, \mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1}.

Resposta

Lei de Fourier:
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T.
Análise dimensional de \nabla T:
[\nabla T] = \Theta\,\mathrm{L}^{-1}\quad(\text{unidade SI: K\,m}^{-1}).

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