Escreva a matriz \mathbf{A} e a sua inversa \mathbf{A}^{-1} como um produto de matrizes elementares.
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 4 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para escrever \mathbf{A} e \mathbf{A}^{-1} como produto de matrizes elementares.
O conteúdo que vamos usar é que cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda de \mathbf{I}, e que o inverso de \mathbf{A} é obtido invertendo a ordem das matrizes elementares e substituindo cada uma pela sua inversa.

Passo 2

Vamos obter \mathbf{A} a partir da identidade \mathbf{I}_3 com três operações:
  1. Multiplicar a linha 2 por 4.
  2. Somar 3 vezes a linha 3 à linha 2.
  3. Somar -2 vezes a linha 3 à linha 1.
As matrizes elementares correspondentes são:
E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Verificamos passo a passo:
E_1\,\mathbf{I}_3 =\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&4&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}
tem a linha 2 escalada para (0,4,0).
E_2\,(E_1\,\mathbf{I}_3)
soma 3 vezes a linha 3 a essa linha 2, mudando-a para (0,4,3).
E_3\bigl(E_2\,E_1\,\mathbf{I}_3\bigr)
soma -2 vezes a linha 3 à linha 1, mudando-a para (1,0,-2).
Portanto
\mathbf{A}=E_3\,E_2\,E_1.

Passo 4

O inverso de cada matriz elementar é:
E_1^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac14 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_2^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_3^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como \mathbf{A}=E_3E_2E_1, temos
\mathbf{A}^{-1} =E_1^{-1}\,E_2^{-1}\,E_3^{-1}.

Resposta

\mathbf{A} =E_3\,E_2\,E_1 =\begin{pmatrix}1&0&-2\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&3\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&4&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},
\mathbf{A}^{-1} =E_1^{-1}\,E_2^{-1}\,E_3^{-1} =\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&\tfrac14&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&-3\\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&2\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.

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