Verdadeiro ou Falso? Prove ou dê um contraexemplo.
Se A^{T}=3 I, então A=3 I.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma matriz quadrada A de tamanho n\times n tal que
A^T = 3I_n,
e pede para verificar se necessariamente
A = 3I_n.

Passo 2

Usamos a propriedade padrão do transposto duplo: para qualquer matriz quadrada A vale
(A^T)^T = A.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao dado A^T = 3I_n, temos:
A = (A^T)^T = (3I_n)^T.

Passo 4

Como o transposto da matriz identidade satisfaz I_n^T = I_n e escalar pode sair do transposto, segue-se
(3I_n)^T = 3\,I_n^T = 3I_n.
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A = 3I_n.

Resposta

Verdadeiro.

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