Escreva o número complexo na forma retangular z=x+i y
z=4(cos (11 pi / 6)+i sin (11 pi / 6))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo na forma retangular, que é z = x + i y. A gente recebeu o número na forma polar: z = 4(cos (11pi6) + i sin (11pi6)). Para resolver isso, vamos precisar usar as relações entre a forma polar e a forma retangular dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter da forma polar para a retangular. Se temos um número complexo na forma polar: z = r(cos theta + i sin theta), então a forma retangular é z = x + i y, onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
Aqui, r é o módulo do número complexo e theta é o argumento (o ângulo).

Passo 3

No nosso caso, o módulo r é 4 e o ângulo theta é 11pi6. Vamos calcular o valor de x:
x = r cos theta = 4 cos ( 11pi6 )

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de y:
y = r sin theta = 4 sin ( 11pi6 )

Passo 5

Vamos calcular cos ( 11pi6 ) e sin ( 11pi6 ). Sabemos que 11pi6 está no quarto quadrante, onde o cosseno é positivo e o seno é negativo.
cos ( 11pi6 ) = cos ( 2pi - pi6 ) = cos ( pi6 ) = raiz32
sin ( 11pi6 ) = sin ( 2pi - pi6 ) = -sin ( pi6 ) = -12

Passo 6

Agora, substituímos esses valores nas equações de x e y:
x = 4 times raiz32 = 2raiz3
y = 4 times ( -12 ) = -2

Resposta

Portanto, o número complexo na forma retangular é:
z = 2raiz3 - 2i

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