EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Considere a matriz
A=(lll 1 & 2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 )
(a) Determine os valores de alpha in R para os quais o sistema (A-alpha Id3) X=0 tem solução não trivial (aqui Id3 é a matriz identidade 3 times 3 ).
(b) Para cada um dos valores de alpha encontrados no item anterior, você deve determinar o conjunto solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe é de Álgebra Linear, mais especificamente sobre encontrar os valores próprios (ou autovalores) de uma matriz e os vetores próprios correspondentes. Para resolver isso, a gente vai precisar trabalhar com determinantes e resolver algumas equações. O enunciado pede para:
(a) Encontrar os valores de alpha que fazem o sistema (A - alpha I3) X = 0 ter solução não trivial.
(b) Para cada alpha encontrado, determinar o conjunto solução do sistema, ou seja, os vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (A - alpha I3) X = 0. Aqui, A é a matriz dada, I3 é a matriz identidade 3x3, e X é o vetor que queremos encontrar. Para que esse sistema tenha soluções diferentes de zero (não triviais), o determinante de (A - alpha I3) precisa ser igual a zero. Isso nos leva a encontrar os valores de alpha que satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - alpha I3:
A - alpha I3 = 1 - alpha & 2 & 2 0 & 2 - alpha & 0 0 & 1 & 1 - alpha
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero:
det(A - alpha I3) = 0

Passo 4

Calculando o determinante da matriz A - alpha I3:
det(A - alpha I3) = (1 - alpha) cdot det 2 - alpha & 0 1 & 1 - alpha - 2 cdot det 0 & 0 0 & 1 - alpha + 2 cdot det 0 & 2 - alpha 0 & 1
Simplificando:
= (1 - alpha) [(2 - alpha)(1 - alpha) - (0 cdot 1)] - 2(0 - 0) + 2(0 - 0)
= (1 - alpha)(2 - alpha)(1 - alpha)
= (1 - alpha)^2 (2 - alpha)

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero:
(1 - alpha)^2 (2 - alpha) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero:
  1. 1 - alpha = 0 Rightarrow alpha = 1
  2. 2 - alpha = 0 Rightarrow alpha = 2
Então, os valores de alpha são 1 e 2.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). Precisamos encontrar o conjunto solução para cada [\alpha) encontrado, ou seja, os vetores que satisfazem .
Primeiro para :
Substituindo na matriz :
O sistema fica:
Da segunda equação, temos (y = 0]. Substituindo na primeira:
Então, [x) é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, os vetores próprios correspondentes a são todos da forma:
Agora para :
Substituindo na matriz :
O sistema fica:
Da terceira equação, temos (y = z]. Substituindo na primeira:
Aqui, é livre. Então, os vetores próprios correspondentes a são todos da forma:

Resposta

(a) Os valores de alpha são 1 e 2.
(b)
  • Para alpha = 1, o conjunto solução é x 0 0 mid x in R .
  • Para alpha = 2, o conjunto solução é z 4 1 1 mid z in R .

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