Questão 2. Calcule.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n / 2}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n}.
Isso é uma série geométrica cujo termo geral pode ser escrito como \bigl(r\bigr)^n.

Passo 2

Reescrevemos o numerador 2^{n/2} como
2^{n/2} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^n.
Então o termo geral fica
\frac{2^{n/2}}{3^n} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^n,
e a razão da série é
r = \frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert = \frac{\sqrt{2}}{3}<1, a soma converge e vale
\sum_{n=0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}.
Aqui o primeiro termo é r^0=1, logo
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n} = \frac{1}{1 - \dfrac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{\dfrac{3-\sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{3 - \sqrt{2}}.

Passo 4

Para deixar numa forma sem raiz no denominador, racionalizamos:
\frac{3}{3 - \sqrt{2}}\;\cdot\;\frac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \frac{3\,(3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{3\,(3 + \sqrt{2})}{7} = \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7}.

Resposta

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{3^n} = \frac{3}{3 - \sqrt{2}} = \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7}.

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