Escreva os números complexos abaixo em sua forma polar e exponencial.
z=-5+i 5

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z = -5 + i5 nas formas polar e exponencial. Vamos precisar calcular o módulo r = |z| e o argumento theta = arg(z), sabendo que o argumento deve ficar no intervalo (0,2pi] (ou em (-pi,pi] se preferir, mas aqui usaremos [0,2pi)).

Passo 2

Calcular o módulo:
r = |z| = raiz(-5)^2 + 5^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2

Passo 3

Determinar o argumento theta. Primeiro calculamos o ângulo de referência:
alpha = arctan!gl|Im(z)Re(z)gr| = arctan!gl|5-5gr| = arctan(1) = pi4
Como Re(z) = -5 < 0 e Im(z) = 5 > 0, o ponto está no segundo quadrante, então
theta = pi - alpha = pi - pi4 = 3pi4

Passo 4

Escrever a forma polar, que é
z = rl(costheta + isinthetar) = 5raiz2l(cos3pi4 + isin3pi4r)

Passo 5

Escrever a forma exponencial, que é
z = r,e^itheta = 5raiz2,e^i3pi4

Resposta

Polar: 5raiz2l(cos3pi4 + isin3pi4r)
Exponencial: 5raiz2,e^i3pi4

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