Escreva os números complexos abaixo em sua forma polar e exponencial.
z=-3-i 3 raiz3

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z=-3 - i,3raiz3 em forma polar e em forma exponencial. Para isso vamos precisar calcular o módulo ,r=|z| e o argumento theta=arg(z) e, em seguida, usar as definições
z = rl(costheta + isinthetar)
e
z = r e^itheta

Passo 2

Calculando o módulo r. Por definição,
r = |z| = raiz(Re z)^2 + (Im z)^2
Aqui Re z = -3 e Im z = -3raiz3, então
r = raiz(-3)^2 + l(-3raiz3r)^2 = raiz9 + 27 = raiz36 = 6

Passo 3

Determinando o argumento theta. Primeiro calculamos
tantheta = Im zRe z = -3raiz3-3 = raiz3
Logo um ângulo principal que satisfaz tantheta=raiz3 é theta0 = pi/3.
Como Re z<0 e Im z<0, o ponto está no terceiro quadrante, onde adicionamos pi. Assim
theta = pi + pi3 = 4pi3

Passo 4

Escrevendo a forma polar. Substituindo r=6 e theta=4pi/3 temos
z = 6l(cos4pi3 + isin4pi3r)

Passo 5

Escrevendo a forma exponencial. Usando a fórmula de Euler, fica
z = 6,e^,i,4pi3

Resposta

Polar: 6l(cos4pi3 + isin4pi3r)
Exponencial: 6,e^,i,4pi3

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