Escreva o operador \hat{A}^{2} para: Dica: Um operador deve sempre agir sobre uma função f(x) qualquer.
\hat{A}=\frac{d^{2}}{d x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o operador \hat A^{2}, sabendo que \hat A = \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}.
Estamos no contexto de operadores diferenciais, e a ideia é compor \hat A consigo mesmo e depois mostrar como age sobre uma função arbitrária f(x).

Passo 2

Para compor o operador duas vezes, aplicamos \hat A em \hat A f(x):
\hat A^{2}f(x) = \hat A\bigl(\hat A f(x)\bigr) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}\!\left(\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}\right) = \frac{d^{4}f(x)}{dx^{4}}.
Então, o operador resultante é aquele que leva f(x) na sua quarta derivada.

Resposta

\hat A^{2} = \frac{d^{4}}{dx^{4}}.

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