Mostre que \widehat{P}=-i \hbar \frac{d}{d x} pode ser escrito como \widehat{P}=\frac{\hbar}{i} \frac{d}{d x}.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador momento no espaço de posição como
\widehat{P} = -\,i\,\hbar\,\frac{d}{dx}
e pede para mostrar sua forma equivalente
\widehat{P} = \frac{\hbar}{i}\,\frac{d}{dx}.
O que vamos usar é somente álgebra de números complexos, em particular a relação entre -i e 1/i.

Passo 2

Observe que
\;i \times \bigl(-i\bigr) = -\,i^2 = -(-1) = 1,
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\frac{1}{i} = -\,i.

Passo 3

Agora, na expressão original, podemos escrever
-\,i\,\hbar = \hbar \,\bigl(-i\bigr) = \hbar\,\frac{1}{i} = \frac{\hbar}{i}.
Substituindo em \widehat{P}, temos
\widehat{P} = -\,i\,\hbar\,\frac{d}{dx} = \frac{\hbar}{i}\,\frac{d}{dx}.

Resposta

\widehat{P} = \frac{\hbar}{i}\,\frac{d}{dx}.

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