Escreva, a partir da sequência x[n]=\{9,-4,3,0,2\},-1 \leq n \leq 3, uma sequência par e outra ímpar que, somadas, resultam em x[n].

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x[n]=\{9,-4,3,0,2\},\qquad -1\le n\le 3,
ou seja, os valores correspondem a:
x[-1]=9,\quad x[0]=-4,\quad x[1]=3,\quad x[2]=0,\quad x[3]=2.
O que se pede: escrever uma sequência par x_e[n] e uma sequência ímpar x_o[n] tais que
x[n]=x_e[n]+x_o[n]\quad\text{para todo }n\text{ no intervalo }-1\le n\le 3.

Passo 2

Relembrando a teoria (passo-a-passo didático): uma sequência é par se satisfaz
x_e[n]=x_e[-n],
e é ímpar se satisfaz
x_o[n]=-x_o[-n].
Qualquer sequência x[n] pode ser decomposta unicamente em uma parte par e uma parte ímpar usando as fórmulas:
x_e[n]=\frac{x[n]+x[-n]}{2}, \qquad x_o[n]=\frac{x[n]-x[-n]}{2}.
Explicação rápida de onde vêm essas fórmulas: somando x[n]=x_e[n]+x_o[n] e x[-n]=x_e[-n]+x_o[-n]=x_e[n]-x_o[n] (usando as propriedades par/ímpar) obtemos duas equações; somando e subtraindo-as resolve para x_e[n] e x_o[n].

Passo 3

Importante sobre x[-n]: a fórmula exige conhecer x[-n] para cada n considerado. A sequência foi dada apenas em -1\le n\le 3. Por convenção (e porque a questão foi formulada assim), assumimos que x[n]=0 para índices fora de [-1,3]. Vou usar essa convenção para calcular x[-n] nos índices pedidos.

Passo 4

Calcular x[-n] para cada n em -1,0,1,2,3:
\begin{aligned} n=-1:&\quad -n=1\quad\Rightarrow\quad x[-1?]=x[1]=3,\\\ n=0:&\quad -n=0\quad\Rightarrow\quad x[0]=-4,\\\ n=1:&\quad -n=-1\quad\Rightarrow\quad x[ -1 ]=9,\\\ n=2:&\quad -n=-2\quad\Rightarrow\quad x[-2]=0\quad(\text{fora do intervalo dado}),\\\ n=3:&\quad -n=-3\quad\Rightarrow\quad x[-3]=0\quad(\text{fora do intervalo dado}). \end{aligned}

Passo 5

Agora aplico a fórmula da parte par:
x_e[n]=\frac{x[n]+x[-n]}{2}.
Calculo para cada índice:
  • Para n=-1:
x_e[-1]=\frac{x[-1]+x[1]}{2}=\frac{9+3}{2}=\frac{12}{2}=6.
  • Para n=0:
x_e[0]=\frac{x[0]+x[0]}{2}=\frac{-4+(-4)}{2}=\frac{-8}{2}=-4.
  • Para n=1:
x_e[1]=\frac{x[1]+x[-1]}{2}=\frac{3+9}{2}=\frac{12}{2}=6.
  • Para n=2:
x_e[2]=\frac{x[2]+x[-2]}{2}=\frac{0+0}{2}=0.
  • Para n=3:
x_e[3]=\frac{x[3]+x[-3]}{2}=\frac{2+0}{2}=1.
Portanto a parte par vale:
x_e[n]=\{6,-4,6,0,1\},\qquad -1\le n\le 3.

Passo 6

Agora aplico a fórmula da parte ímpar:
x_o[n]=\frac{x[n]-x[-n]}{2}.
Calculo para cada índice:
  • Para n=-1:
x_o[-1]=\frac{x[-1]-x[1]}{2}=\frac{9-3}{2}=\frac{6}{2}=3.
  • Para n=0:
x_o[0]=\frac{x[0]-x[0]}{2}=\frac{-4-(-4)}{2}=0.
(Observação: a parte ímpar sempre tem x_o[0]=0, porque x_o[0]=-x_o[0] implica x_o[0]=0.)
  • Para n=1:
x_o[1]=\frac{x[1]-x[-1]}{2}=\frac{3-9}{2}=\frac{-6}{2}=-3.
  • Para n=2:
x_o[2]=\frac{x[2]-x[-2]}{2}=\frac{0-0}{2}=0.
  • Para n=3:
x_o[3]=\frac{x[3]-x[-3]}{2}=\frac{2-0}{2}=1.
Portanto a parte ímpar vale:
x_o[n]=\{3,0,-3,0,1\},\qquad -1\le n\le 3.

Passo 7

Verificação rápida (para nos deixar seguros): somando termo a termo x_e[n]+x_o[n] obtemos
\begin{aligned} n=-1:&\\\ 6+3=9=x[-1],\\\ n=0:&\\\ -4+0=-4=x[0],\\\ n=1:&\\\ 6+(-3)=3=x[1],\\\ n=2:&\\\ 0+0=0=x[2],\\\ n=3:&\\\ 1+1=2=x[3]. \end{aligned}
Portanto a decomposição está correta.

Resposta

Sequência par: x_e[n]=\{6,-4,6,0,1\},\\\ -1\le n\le 3
Sequência ímpar: x_o[n]=\{3,0,-3,0,1\},\\\ -1\le n\le 3

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