Escreva, a partir da sequência
, uma sequência par e outra ímpar que, somadas, resultam em
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
ou seja, os valores correspondem a:
O que se pede: escrever uma sequência par
e uma sequência ímpar
tais que
Passo 2
Relembrando a teoria (passo-a-passo didático): uma sequência é par se satisfaz
e é ímpar se satisfaz
Qualquer sequência
pode ser decomposta unicamente em uma parte par e uma parte ímpar usando as fórmulas:
Explicação rápida de onde vêm essas fórmulas: somando
e
(usando as propriedades par/ímpar) obtemos duas equações; somando e subtraindo-as resolve para
e
.
Passo 3
Importante sobre
: a fórmula exige conhecer
para cada
considerado. A sequência foi dada apenas em
. Por convenção (e porque a questão foi formulada assim), assumimos que
para índices fora de
. Vou usar essa convenção para calcular
nos índices pedidos.
Passo 4
Calcular
para cada
em
:
Passo 5
Agora aplico a fórmula da parte par:
Calculo para cada índice:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a parte par vale:
Passo 6
Agora aplico a fórmula da parte ímpar:
Calculo para cada índice:
- Para
:
- Para
:
(Observação: a parte ímpar sempre tem
, porque
implica
.)
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a parte ímpar vale:
Passo 7
Verificação rápida (para nos deixar seguros): somando termo a termo
obtemos
Portanto a decomposição está correta.
Resposta
Sequência par:
Sequência ímpar: