Represente a sequência x[n]=\{-5,0,1,-3,4\},-2 \leq n \leq 2, na forma de soma de impulsos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x[n]=\{-5,0,1,-3,4\},\qquad -2\le n\le 2.
O que é pedido: representar x[n] na forma de soma de impulsos (ou seja, como soma de impulsos unitários deslocados e ponderados).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os índices correspondem a n=-2,-1,0,1,2.
  • Os valores correspondentes são: x[-2]=-5,\quad x[-1]=0,\quad x[0]=1,\quad x[1]=-3,\quad x[2]=4.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula sobre impulso unitário):
  • O impulso unitário discreto é a sequência \delta[n]\) definida por \[\delta[n]= \begin{cases} 1, & n=0,\\[4pt] 0, & n\ne 0. \end{cases}
  • O impulso deslocado \delta[n-k]\] vale \(1 apenas na posição n=k e vale 0 para n\ne k.
  • Propriedade fundamental (função de seleção): para qualquer sequência x[n] vale x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,\delta[n-k].Explicação: cada termo x[k]\delta[n-k] “liga” o valor x[k] somente em n=k; somando todos os k recupera-se a sequência inteira.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto:
  • Como x[k]=0 para k fora do intervalo -2\le k\le 2, a soma infinita reduz-se a uma soma finita: x[n]=\sum_{k=-2}^{2} x[k]\,\delta[n-k].
  • Substituindo os valores que foram dados no enunciado: x[n]=x[-2]\,\delta[n+2]+x[-1]\,\delta[n+1]+x[0]\,\delta[n]+x[1]\,\delta[n-1]+x[2]\,\delta[n-2].

Passo 4

Substituindo os números explícitos e simplificando (notar que o termo com coeficiente zero pode ser eliminado):
  • Colocando os valores x[-2]=-5, x[-1]=0, x[0]=1, x[1]=-3, x[2]=4 obtemos x[n]=-5\,\delta[n+2]+0\cdot\delta[n+1]+1\cdot\delta[n]-3\,\delta[n-1]+4\,\delta[n-2].
  • Como 0\cdot\delta[n+1]=0, a forma final simplificada é x[n]=-5\,\delta[n+2]+\delta[n]-3\,\delta[n-1]+4\,\delta[n-2].

Resposta

x[n]=-5\,\delta[n+2]+\delta[n]-3\,\delta[n-1]+4\,\delta[n-2]

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