Considere o sinal x[n]=\cos \left(\omega_{0} n\right). Para cada valor de \omega_{0} abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
\omega_{0}=0,1 \pi

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência discreta x[n]=\cos\big(\omega_{0} n\big). O valor fornecido para o parâmetro é \omega_{0}=0{,}1\pi (peguei esse valor do enunciado). A tarefa é:
  • Determinar se a sequência é periódica;
  • Se for periódica, indicar o período fundamental (o menor inteiro positivo N tal que x[n+N]=x[n] para todo n).

Passo 2

Vou explicar a condição de periodicidade para sequências do tipo x[n]=\cos\big(\omega_{0} n\big), de forma bem direta e ilustrada.
A definição: uma sequência discreta x[n] é periódica se existir um inteiro N>0 tal que
x[n+N]=x[n]\quad\text{para todo }n.
No caso de x[n]=\cos\big(\omega_{0} n\big) isso exige
\cos\big(\omega_{0}(n+N)\big)=\cos\big(\omega_{0} n\big)\quad\text{para todo }n.
Usamos que a função cosseno satisfaz \cos(\theta+2\pi m)=\cos(\theta) para qualquer inteiro m. Logo uma condição suficiente (e necessária para toda n) é que
\omega_{0}N=2\pi m
para algum inteiro m. Essa condição garante que ao somar N ao índice o argumento do cosseno mudou por um múltiplo inteiro de 2\pi, ficando o mesmo valor de cosseno.
Reescrevendo a condição,
\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{m}{N}.
Ou seja, \dfrac{\omega_{0}}{2\pi} deve ser um número racional; se for, escrevendo essa fração na forma irredutível \dfrac{p}{q} (com p,q inteiros positivos coprimos), o menor período inteiro (período fundamental) será N_0=q (e corresponde a m=p).

Passo 3

Agora substituo o valor dado de \omega_{0}. Pelo enunciado:
\omega_{0}=0{,}1\pi=\frac{\pi}{10}.

Passo 4

Calculo a razão \dfrac{\omega_{0}}{2\pi}:
\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{\pi/10}{2\pi}=\frac{1}{20}.
Essa fração já está na forma irredutível \dfrac{p}{q} com p=1 e q=20. Como é racional, a sequência é periódica; o período fundamental N_{0} é o denominador q, ou seja N_{0}=20.

Passo 5

Verificação rápida e intuitiva: com N_{0}=20,
\omega_{0}N_{0}=\frac{\pi}{10}\cdot 20=2\pi,
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x[n+20]=\cos\big(\omega_{0}(n+20)\big)=\cos\big(\omega_{0}n+2\pi\big)=\cos\big(\omega_{0}n\big)=x[n],
confirmando que 20 é um período. Não existe período inteiro positivo menor que 20 que satisfaça \omega_{0}N=2\pi m com m inteiro, porque a expressão leva a N=20m e o menor m positivo é 1.

Resposta

Periódica, período fundamental N_{0}=20

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