Considere o sinal
. Para cada valor de
abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência discreta
. O valor fornecido para o parâmetro é
(peguei esse valor do enunciado). A tarefa é:
- Determinar se a sequência é periódica;
- Se for periódica, indicar o período fundamental (o menor inteiro positivo
tal que para todo ).
Passo 2
Vou explicar a condição de periodicidade para sequências do tipo
, de forma bem direta e ilustrada.
A definição: uma sequência discreta
é periódica se existir um inteiro
tal que
No caso de
isso exige
Usamos que a função cosseno satisfaz
para qualquer inteiro
. Logo uma condição suficiente (e necessária para toda
) é que
para algum inteiro
. Essa condição garante que ao somar
ao índice o argumento do cosseno mudou por um múltiplo inteiro de
, ficando o mesmo valor de cosseno.
Reescrevendo a condição,
Ou seja,
deve ser um número racional; se for, escrevendo essa fração na forma irredutível
(com
inteiros positivos coprimos), o menor período inteiro (período fundamental) será
(e corresponde a
).
Passo 3
Agora substituo o valor dado de
. Pelo enunciado:
Passo 4
Calculo a razão
:
Essa fração já está na forma irredutível
com
e
. Como é racional, a sequência é periódica; o período fundamental
é o denominador
, ou seja
.
Passo 5
Verificação rápida e intuitiva: com
,
logo
confirmando que
é um período. Não existe período inteiro positivo menor que
que satisfaça
com
inteiro, porque a expressão leva a
e o menor
positivo é
.
Resposta
Periódica, período fundamental