Escreva uma possível relação de dispersão para uma banda de energia de um cristal cuja célula unitária é definida pelos vectores: \vec{a}_{1}=5 a \vec{u}_{x} \quad \vec{a}_{2}=2 a \vec{u}_{y} \quad \vec{a}_{3}=a \vec{u}_{z}

Passo 1

O enunciado nos pede para escrever uma possível relação de dispersão E(\vec k) de uma banda eletrônica num cristal cuja célula unitária é ortorrômbica, com \vec a_{1}=5a\,\vec u_{x}, \vec a_{2}=2a\,\vec u_{y}, \vec a_{3}=a\,\vec u_{z}.
O conteúdo envolvido é dispersão de banda em modelos simples (por exemplo tight-binding) e redes recíprocas.

Passo 2

Para definir o domínio de \vec k precisamos dos vetores de rede recíproca. Em uma rede ortorrômbica temos
\vec b_{1}=\frac{2\pi}{5a}\,\vec u_{x},\quad \vec b_{2}=\frac{2\pi}{2a}\,\vec u_{y}=\frac{\pi}{a}\,\vec u_{y},\quad \vec b_{3}=\frac{2\pi}{a}\,\vec u_{z}.
Portanto
k_{x}\in\bigl[-\tfrac{\pi}{5a},\tfrac{\pi}{5a}\bigr],\quad k_{y}\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2a},\tfrac{\pi}{2a}\bigr],\quad k_{z}\in\bigl[-\tfrac{\pi}{a},\tfrac{\pi}{a}\bigr].

Passo 3

No modelo de tight-binding com um orbital por célula e saltos apenas entre vizinhos mais próximos ao longo de cada direção \vec a_{i}, a dispersão genérica em rede ortorrômbica é
E(\vec k)=E_{0} -\sum_{i=1}^{3}2\,t_{i}\cos\!\bigl(\vec k\cdot\vec a_{i}\bigr),
onde t_{i} é o parâmetro de salto na direção \vec a_{i}.

Passo 4

Substituindo \vec a_{1}=5a\,\vec u_{x}, \vec a_{2}=2a\,\vec u_{y}, \vec a_{3}=a\,\vec u_{z} e definindo t_{x},t_{y},t_{z} como os saltos em cada eixo, obtemos
E(\vec k) =E_{0} -2\,t_{x}\cos\bigl(5a\,k_{x}\bigr) -2\,t_{y}\cos\bigl(2a\,k_{y}\bigr) -2\,t_{z}\cos\bigl(a\,k_{z}\bigr).

Resposta

E(\vec k) =E_{0} -2\,t_{x}\cos\bigl(5a\,k_{x}\bigr) -2\,t_{y}\cos\bigl(2a\,k_{y}\bigr) -2\,t_{z}\cos\bigl(a\,k_{z}\bigr).

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