Suponha que a banda de energia mais alta de um material é dada por
E_{n}(\vec{k})=-8\left[\cos \left(a k_{x}\right)+\cos \left(a k_{y}\right)+\cos \left(a k_{z}\right)\right]
onde a=3 \AA e a energia se expressa em eV ( 1 \mathrm{eV}=1,602 \times 10^{-19} \mathrm{~J} ).
(a) Indique um valor possível da energia de Fermi de modo a que o material seja um condutor onde os portadores de carga aparentam ter carga negativa.
(b) Indique um valor possível da energia de Fermi de modo a que o material seja um condutor onde os portadores de carga aparentam ter carga positiva.
(c) Determine as massas efectivas no fundo e no topo da banda.

Passo 1

O enunciado dá a banda mais alta de um sólido
E_{n}(\vec{k}) = -8\bigl[\cos(a k_x)+\cos(a k_y)+\cos(a k_z)\bigr]\quad,\quad a = 3\text{Å},Å
com energia em eV. Pede-se:
  1. Um E_F que torne o material condutor com portadores negativos (elétrons).
  2. Um E_F que torne o material condutor com portadores positivos (buracos).
  3. As massas efetivas no fundo \Gamma, k =0) e no topo ( k_i=\pi/a da banda.
    Usaremos o conceito de massa efetiva
\frac1{m^*} = \frac1{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E_J}{\partial k_i^2},
onde E_J está em joules.

Passo 2

Primeiro achamos as energias de fundo e topo da banda. Em k =0 temos
E_{\min} = -8\,[\cos0+\cos0+\cos0] = -8\cdot3 = -24\text{ eV},
e em k_i=\pi/a cada \cos(\pi)=-1, logo
E_{\max} = -8\,[(-1)+(-1)+(-1)] = +24\text{ eV}.

Passo 3

Para portadores negativos (elétrons) o Fermi deve estar logo acima do fundo de banda, de modo a haver elétrons livres para conduzir. Um valor possível é
E_F \approx -23\text{ eV},
pois -24<E_F<-23 garante banda parcialmente ocupada por elétrons perto de k =0.

Passo 4

Para portadores positivos (buracos) o Fermi deve ficar logo abaixo do topo de banda, deixando “lacunas” no topo. Um valor possível é
E_F \approx +23\text{ eV},
pois +23<E_{\max}=+24 gera buracos em torno de k_i=\pi/a.

Passo 5

Calculamos a massa efetiva em uma direção k_x. Primeiro expressamos E em joules: basta multiplicar por 1{,}602\times10^{-19}. A derivada segunda é
\frac{\partial^2 E_J}{\partial k_x^2} = -8\,\frac{\partial^2}{\partial k_x^2}\bigl[\cos(a k_x)\bigr]\times(1{,}602\times10^{-19}) = 8\,a^2\cos(a k_x)\,(1{,}602\times10^{-19}).
Assim
m^*(k_x) =\frac{\hbar^2}{\displaystyle\frac{\partial^2 E_J}{\partial k_x^2}} =\frac{\hbar^2}{8\,a^2\cos(a k_x)\,(1{,}602\times10^{-19})}.
No fundo k_x=0, \cos0=1
m^*_{\rm fundo} =\frac{\hbar^2}{8\,a^2\,(1{,}602\times10^{-19})} \approx\frac{(1{,}055\times10^{-34})^2}{8\,(3\times10^{-10})^2\,(1{,}602\times10^{-19})} \approx9{,}65\times10^{-32}\text{ kg} \approx0{,}106\,m_e.
No topo a k_x=\pi, \cos\pi=-1
m^*_{\rm topo} =-\,\frac{\hbar^2}{8\,a^2\,(1{,}602\times10^{-19})} \approx -0{,}106\,m_e.

Resposta

(a) E_F\approx -23\text{ eV} para elétrons (carga negativa).
(b) E_F\approx +23\text{ eV} para buracos (carga positiva).
(c) \displaystyle m^*_{\rm fundo}\approx +0{,}106\,m_e,\quad m^*_{\rm topo}\approx -0{,}106\,m_e.

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