Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para trabalhar com a série infinita
. Vamos identificar os primeiros termos dessa série para achar os valores de
(o primeiro termo) e
(a razão). Depois, vamos calcular a soma da série e descobrir para quais valores de
a série converge, ou seja, para quais
a série faz sentido matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série. A série é definida como
. Vamos substituir
por valores começando de 0:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Então, os primeiros termos são:
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
. Em uma série geométrica, temos a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão entre os termos consecutivos.
Comparando com a nossa série
, vemos que:
- O primeiro termo
- A razão
é o fator que multiplica cada termo para chegar ao próximo. Observando de um termo para o outro: - De
para , multiplicamos por - De
para , multiplicamos por
- De
Portanto, a razão
.
Passo 4
Vamos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita com
, a soma é dada por
.
Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Então, a soma da série é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar para quais valores de
a série converge. Isso depende da condição
.
Sabemos que
, então:
Portanto, a desigualdade
determina para quais valores de
a série converge.
Resposta
A série
converge para
e sua soma é igual a
.