Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso, seja convergente, ache o seu limite.
\left\{\frac{n^{2}+1}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência
a_n = \frac{n^2 + 1}{n},
além de verificar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite. Para isso, vamos simplificar o termo geral e em seguida calcular os valores iniciais e estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Simplificamos o termo geral dividindo n^2+1 por n:
a_n = \frac{n^2 + 1}{n} = n + \frac{1}{n}.

Passo 3

Agora calculamos os quatro primeiros termos, isto é, para n = 1,2,3,4:
a_1 = 1 + \frac{1}{1} = 2,
a_2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2},
a_3 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3},
a_4 = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}.

Passo 4

Para analisar o comportamento quando n\to\infty, observamos que
n \longrightarrow \infty \quad\text{e}\quad \frac{1}{n} \longrightarrow 0,
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a_n = n + \frac{1}{n} \longrightarrow \infty.
Como o termo geral cresce sem limite finito, a sequência é divergente (não converge a um número real).

Resposta

Os quatro primeiros termos são
2,\quad \frac{5}{2},\quad \frac{10}{3},\quad \frac{17}{4}.
A sequência é divergente (ela cresce sem limite, isto é, a_n\to\infty quando n\to\infty).

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