Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso, seja convergente, ache o seu limite.
\left\{\frac{e^{n}}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência
a_n = \frac{e^n}{n}
e que a gente decida se ela converge ou diverge. O tema aqui é estudo de sequências e seus limites, usando comparação de crescimento de funções (níveis de crescimento exponencial versus linear).

Passo 2

Vamos calcular
a_1 = \frac{e^1}{1} = e,
a_2 = \frac{e^2}{2},
a_3 = \frac{e^3}{3},
a_4 = \frac{e^4}{4}.

Passo 3

Para ver se a sequência converge, podemos usar o teste da razão. Considere
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}} = \frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n} = e\cdot\frac{n}{n+1}.
Como n\to\infty, temos \frac{n}{n+1}\to1, logo
\frac{a_{n+1}}{a_n}\;\longrightarrow\;e>1.
Isso indica crescimento sem limite finito.

Passo 4

Como a razão entre termos sucessivos tende a um valor maior que 1, a_n cresce sem bound e tende a +\infty. Portanto, a sequência é divergente.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
e,\quad \frac{e^2}{2},\quad \frac{e^3}{3},\quad \frac{e^4}{4},
e a sequência diverge (não tem limite finito).

Exercícios relacionados