Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso, seja convergente, ache o seu limite.
\left\{\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência de termos reais
a_n = \frac{3n^3 + 1}{2n^2 + n}
e pede (i) os quatro primeiros termos e (ii) analisar se a sequência converge ou diverge; em caso de convergência, determinar o limite. Vamos usar cálculo direto para os primeiros valores e, em seguida, estudar o comportamento assintótico para n\to\infty.

Passo 2

Calculamos a_n para n=1,2,3,4:
a_1 = \frac{3\cdot1^3 + 1}{2\cdot1^2 + 1} = \frac{4}{3}, \qquad a_2 = \frac{3\cdot2^3 + 1}{2\cdot2^2 + 2} = \frac{25}{10} = \tfrac{5}{2},
a_3 = \frac{3\cdot3^3 + 1}{2\cdot3^2 + 3} = \frac{82}{21}, \qquad a_4 = \frac{3\cdot4^3 + 1}{2\cdot4^2 + 4} = \frac{193}{36}.

Passo 3

Para n\to\infty, note que o numerador cresce como 3n^3 e o denominador como 2n^2. Logo
a_n \sim \frac{3n^3}{2n^2} = \frac{3}{2}\,n
e, portanto, a_n \to +\infty. Assim, a sequência não se aproxima de um valor finito.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\frac{4}{3},\quad \frac{5}{2},\quad \frac{82}{21},\quad \frac{193}{36}.
A sequência diverge, pois
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.

Exercícios relacionados