Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso, seja convergente, ache o seu limite.
\left\{\frac{\ln n}{n^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}} e pede (i) os quatro primeiros elementos e (ii) verificar se a sequência é convergente ou divergente, achando o limite quando convergente.

Passo 2

Calculamos manualmente os quatro primeiros termos:
a_{1}=\frac{\ln 1}{1^{2}}=\frac{0}{1}=0,
a_{2}=\frac{\ln 2}{2^{2}}=\frac{\ln 2}{4},
a_{3}=\frac{\ln 3}{3^{2}}=\frac{\ln 3}{9},
a_{4}=\frac{\ln 4}{4^{2}}=\frac{\ln 4}{16}.

Passo 3

Para estudar \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}, estendemos para a função contínua f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}} e aplicamos a regra de l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{2})} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}} =0.

Passo 4

Como o limite dos termos a_{n} é 0, concluímos que a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

Os quatro primeiros termos são a_{1}=0, a_{2}=\tfrac{\ln 2}{4}, a_{3}=\tfrac{\ln 3}{9} e a_{4}=\tfrac{\ln 4}{16}.
A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=0.

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