Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso, seja convergente, ache o seu limite.
\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\}

Passo 1

O enunciado define a sequência real
a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
e pede (1) os quatro primeiros termos, (2) verificar se a sequência é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, (3) determinar o seu limite. O conteúdo envolve manipular raízes e estudar limite de sequência.

Passo 2

Vamos calcular os valores de a_n para n=1,2,3,4: a_1 = \sqrt{1+1} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 a_2 = \sqrt{2+1} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} a_3 = \sqrt{3+1} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} a_4 = \sqrt{4+1} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2

Passo 3

Para estudar o comportamento de a_n quando n\to\infty, simplificamos usando a conjugada:
a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

Passo 4

Agora calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = 0,
pois o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Como \lim_{n\to\infty}a_n = 0 existe e é finito, a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

Os quatro primeiros termos são \sqrt{2}-1, \sqrt{3}-\sqrt{2}, 2-\sqrt{3} e \sqrt{5}-2.
A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr) = 0.

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