Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}^{n} \frac{\pi}{6}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos da série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}^{n}\frac{\pi}{6}; (2) determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a sua soma. As informações dadas são:
A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}^{n}\frac{\pi}{6}.
O índice n varia de 1 até +\infty.
Passo 2
Calcular o valor de \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}. Lembrando que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos:
Explicando devagar: \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2} e \cos\frac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Dividindo estes valores obtemos \dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Passo 3
Escrever os quatro primeiros termos da série substituindo \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Os termos são os de n=1,2,3,4:
\begin{aligned} \text{1.º termo }(n=1)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^1=\frac{1}{\sqrt{3}},\\[4pt] \text{2.º termo }(n=2)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3},\\[4pt] \text{3.º termo }(n=3)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9},\\[4pt] \text{4.º termo }(n=4)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4=\frac{1}{9}. \end{aligned}
Opcionalmente, em valores aproximados: \frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,577, \frac{1}{3}\approx0,333, \frac{\sqrt{3}}{9}\approx0,192, \frac{1}{9}\approx0,111.]
Isto é uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e primeiro termo a=r (porque começa em n=1 com r^1). Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui usamos a versão com início em n=1, cuja soma, quando convergente, é S=\dfrac{a}{1-r} com a=r, ou de forma direta S=\dfrac{r}{1-r}.
Passo 5
Verificar a condição de convergência e calcular a soma. Primeiro, |r|=\left|\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|<1, logo a série é convergente. Agora calcular a soma: