Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}^{n} \frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos da série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}^{n}\frac{\pi}{6}; (2) determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a sua soma. As informações dadas são:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}^{n}\frac{\pi}{6}.
  • O índice n varia de 1 até +\infty.

Passo 2

Calcular o valor de \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}. Lembrando que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos:
\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Explicando devagar: \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2} e \cos\frac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Dividindo estes valores obtemos \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Escrever os quatro primeiros termos da série substituindo \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Os termos são os de n=1,2,3,4:
\begin{aligned} \text{1.º termo }(n=1)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^1=\frac{1}{\sqrt{3}},\\[4pt] \text{2.º termo }(n=2)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3},\\[4pt] \text{3.º termo }(n=3)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9},\\[4pt] \text{4.º termo }(n=4)&:\\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4=\frac{1}{9}. \end{aligned}ºººº
Opcionalmente, em valores aproximados: \frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,577, \frac{1}{3}\approx0,333, \frac{\sqrt{3}}{9}\approx0,192, \frac{1}{9}\approx0,111.]

Passo 4

Identificar o tipo da série. A série fica
\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n} =\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{9}+\cdots
Isto é uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e primeiro termo a=r (porque começa em n=1 com r^1). Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui usamos a versão com início em n=1, cuja soma, quando convergente, é S=\dfrac{a}{1-r} com a=r, ou de forma direta S=\dfrac{r}{1-r}.

Passo 5

Verificar a condição de convergência e calcular a soma. Primeiro, |r|=\left|\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|<1, logo a série é convergente. Agora calcular a soma:
S=\frac{r}{1-r}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}.
Simplificando a expressão passo a passo:
S=\frac{\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{\tfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} =\frac{1}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}+1):
S=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} =\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2} =\frac{\sqrt{3}+1}{3-1} =\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
Como checagem numérica, \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\approx \dfrac{1,732+1}{2}\approx1,366, que é coerente com a soma das parcelas iniciais.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}},\\ \dfrac{1}{3},\\ \dfrac{1}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9},\\ \dfrac{1}{9}
Convergente; soma S=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}

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