Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{3}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.
O que o problema pede:
Escrever os quatro primeiros termos da série.
Determinar se a série é convergente ou divergente.
Se for convergente, obter a soma da série.
Informações relevantes fornecidas:
O termo geral da série é \;a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}\; para n=1,2,3,\dots.
Passo 2
Vamos calcular os quatro primeiros termos usando a fórmula do termo geral. Para cada n substituímos na expressão \;a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}.
A razão é constante e vale r=-\dfrac{1}{2}. Logo a série é uma série geométrica com primeiro termo
a = a_1 = \dfrac{3}{2}
e razão \;r=-\dfrac{1}{2}.
Passo 4
Teste de convergência para série geométrica: uma série geométrica com primeiro termo a e razão r é convergente se, e só se, |r|<1. Nesse caso a soma é dada por
S=\frac{a}{1-r}.
Aqui |r|=\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<1, portanto a série é convergente.
Passo 5
Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica:
Substituindo a=\dfrac{3}{2} e r=-\dfrac{1}{2} temos
S = \frac{\dfrac{3}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})} = \frac{\dfrac{3}{2}}{1+\tfrac{1}{2}} = \frac{\dfrac{3}{2}}{\tfrac{3}{2}} = 1.
Passo 6
Verificação numérica rápida pelos somatórios parciais (opcional, para intuição):