Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.
O que o problema pede:
  • Escrever os quatro primeiros termos da série.
  • Determinar se a série é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, obter a soma da série.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \;a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}\; para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos calcular os quatro primeiros termos usando a fórmula do termo geral. Para cada n substituímos na expressão \;a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}.
  • Para n=1:
a_1 = (-1)^{1+1}\dfrac{3}{2^{1}} = (-1)^{2}\dfrac{3}{2} = 1\cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}.
  • Para n=2:
a_2 = (-1)^{2+1}\dfrac{3}{2^{2}} = (-1)^{3}\dfrac{3}{4} = -1\cdot \dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}.
  • Para n=3:
a_3 = (-1)^{3+1}\dfrac{3}{2^{3}} = (-1)^{4}\dfrac{3}{8} = 1\cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}.
  • Para n=4:
a_4 = (-1)^{4+1}\dfrac{3}{2^{4}} = (-1)^{5}\dfrac{3}{16} = -1\cdot \dfrac{3}{16} = -\dfrac{3}{16}.
Portanto, os quatro primeiros termos são \dfrac{3}{2},\\\ -\dfrac{3}{4},\\ \dfrac{3}{8},\\\ -\dfrac{3}{16}.

Passo 3

Observação sobre a forma da série: verifique a razão entre termos consecutivos para identificar se é uma série geométrica.
Calcule \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{(n+1)+1}\dfrac{3}{2^{\,n+1}}}{(-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}} = \frac{(-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}}\cdot\frac{1}{2} = (-1)\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.
A razão é constante e vale r=-\dfrac{1}{2}. Logo a série é uma série geométrica com primeiro termo
a = a_1 = \dfrac{3}{2}
e razão \;r=-\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Teste de convergência para série geométrica: uma série geométrica com primeiro termo a e razão r é convergente se, e só se, |r|<1. Nesse caso a soma é dada por
S=\frac{a}{1-r}.
Aqui |r|=\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<1, portanto a série é convergente.

Passo 5

Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica:
Substituindo a=\dfrac{3}{2} e r=-\dfrac{1}{2} temos
S = \frac{\dfrac{3}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})} = \frac{\dfrac{3}{2}}{1+\tfrac{1}{2}} = \frac{\dfrac{3}{2}}{\tfrac{3}{2}} = 1.

Passo 6

Verificação numérica rápida pelos somatórios parciais (opcional, para intuição):
S_1=\dfrac{3}{2}=1{,}5,\qquad S_2=1{,}5-\dfrac{3}{4}=0{,}75,\qquad S_3=0{,}75+\dfrac{3}{8}=1{,}125,\qquad S_4=1{,}125-\dfrac{3}{16}=0{,}9375,
essas somas parciais oscilam e aproximam-se de 1, consistente com o resultado acima.

Resposta

Os quatro primeiros termos: \dfrac{3}{2},\\\ -\dfrac{3}{4},\\ \dfrac{3}{8},\\\ -\dfrac{3}{16}\n
A série é convergente e sua soma é 1.

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