Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right){n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever os quatro primeiros termos da série infinita \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
  • Determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, obter a sua soma.
Informação dada (a partir do enunciado):
  • A série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n com termo geral a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
  • Não há mais informações externas; todos os dados necessários estão no próprio termo geral.

Passo 2

Vamos entender a diferença entre termo de uma sequência e soma de uma série:
  • A sequência dos termos é a_1,a_2,a_3,\dots onde a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}a_n é a soma dos termos da sequência, isto é, a soma dos a_n quando n vai para infinito.
    Agora calculemos os quatro primeiros termos explicitamente (substituir n=1,2,3,4 em a_n):
a_1=\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=\frac{2}{3},
a_2=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{3^{2}}=\frac{4}{9},
a_3=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27},
a_4=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81}.

Passo 3

Reconhecendo o tipo de série: a série tem a forma \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} com r=\dfrac{2}{3}. Séries desse tipo são séries geométricas. Vamos relembrar a propriedade essencial das séries geométricas:
Para uma série geométrica com termo geral r^{n} (começando em n=1), os somatórios parciais até N são dados por
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}r^{n}=r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Uma forma padrão de obter S_{N} é multiplicar por r e subtrair:
rS_{N}=r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{N+1}.
Subtraindo as duas igualdades:
S_{N}-rS_{N}=r-r^{N+1}.
Fatorando S_{N}(1-r)=r(1-r^{N}). Assim, para r\neq 1,
S_{N}=\frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Essa é a fórmula dos somatórios parciais para \sum_{n=1}^{N}r^{n}.

Passo 4

Critério de convergência e soma da série infinita: a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nessa situação, \lim_{N\to\infty}r^{N}=0 e, tomando limite em S_{N},
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\lim_{N\to\infty}\frac{r(1-r^{N})}{1-r}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso, r=\dfrac{2}{3}. Observações:
  • \left|\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}<1, portanto \displaystyle\lim_{N\to\infty}r^{N}=0 e a série converge.
  • A soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}}.
Agora simplificamos passo a passo:
1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},
\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}=2.

Passo 5

Resumo final e interpretação breve:
  • Os quatro primeiros termos são \dfrac{2}{3},\dfrac{4}{9},\dfrac{8}{27},\dfrac{16}{81}.
  • A série é uma série geométrica com razão \dfrac{2}{3}, cuja razão absoluta é menor que 1, logo a série converge.
  • A soma da série convergente é 2.

Resposta

Primeiros quatro termos: \dfrac{2}{3},\dfrac{4}{9},\dfrac{8}{27},\dfrac{16}{81}
Convergência: convergente
Soma: 2

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