Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right){n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Escrever os quatro primeiros termos da série infinita \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, obter a sua soma.
Informação dada (a partir do enunciado):
A série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n com termo geral a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Não há mais informações externas; todos os dados necessários estão no próprio termo geral.
Passo 2
Vamos entender a diferença entre termo de uma sequência e soma de uma série:
A sequência dos termos é a_1,a_2,a_3,\dots onde a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}a_n é a soma dos termos da sequência, isto é, a soma dos a_n quando n vai para infinito.
Agora calculemos os quatro primeiros termos explicitamente (substituir n=1,2,3,4 em a_n):
Reconhecendo o tipo de série: a série tem a forma \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} com r=\dfrac{2}{3}. Séries desse tipo são séries geométricas. Vamos relembrar a propriedade essencial das séries geométricas:
Para uma série geométrica com termo geral r^{n} (começando em n=1), os somatórios parciais até N são dados por
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}r^{n}=r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Uma forma padrão de obter S_{N} é multiplicar por r e subtrair:
rS_{N}=r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{N+1}.
Subtraindo as duas igualdades:
S_{N}-rS_{N}=r-r^{N+1}.
Fatorando S_{N}(1-r)=r(1-r^{N}). Assim, para r\neq 1,
S_{N}=\frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Essa é a fórmula dos somatórios parciais para \sum_{n=1}^{N}r^{n}.
Passo 4
Critério de convergência e soma da série infinita: a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nessa situação, \lim_{N\to\infty}r^{N}=0 e, tomando limite em S_{N},