(a) Escreva as reações químicas cujas constantes de equilíbrio são K_{\mathrm{b}} e K_{\mathrm{a}} para o imidazol e o cloridrato de imidazol, respectivamente.
(b) Calcule o pH de uma solução preparada pela mistura de 1,00 g de imidazol com 1,00 \mathrm{~g} de cloridrato de imidazol e diluindo a 100,0 \mathrm{~mL}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Escrever as reações químicas cujas constantes de equilíbrio são K_{\mathrm{b}} e K_{\mathrm{a}} para o imidazol e para o cloridrato de imidazol, respectivamente.
  • (b) Calcular o pH de uma solução preparada misturando 1,00\\ \mathrm{g} de imidazol e 1,00\\ \mathrm{g} de cloridrato de imidazol e completando o volume para 100,0\\ \mathrm{mL}.
As informações numéricas dadas (que vou usar depois) são:
  • massa de imidazol: 1,00\\ \mathrm{g};
  • massa de cloridrato de imidazol: 1,00\\ \mathrm{g};
  • volume final da solução: 100,0\\ \mathrm{mL} = 0,1000\\ \mathrm{L}.
Observação útil (já que o problema não forneceu constantes): vou usar o valor experimental de pK_a do cátion imidazol ( \mathrm{ImH^+}) à 25^\circ\mathrm{C}, que é pK_a = 6,99. Isso permite calcular pH por métodos de tampão (Henderson–Hasselbalch). Também usarei K_w = 1{,}0\times10^{-14} à 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

(a) Escrever as reações e as expressões das constantes de equilíbrio.
Explicação didática curta: imidazol ( \mathrm{Im}) é uma base de Brønsted — aceita próton. A sua base conjugada protonada é o íon imidazolório ( \mathrm{ImH^+}). Para bases em água a reação que define K_{\mathrm{b}} é a transferência de próton da água para a base, gerando \mathrm{OH^-} e o cátion protonado. Para ácidos (aqui o cloridrato tem o cátion \mathrm{ImH^+}) a reação que define K_{\mathrm{a}} é a do ácido doando próton para a água, gerando \mathrm{H_3O^+}.
Portanto as reações pedidas são:
  • Para o imidazol (constante K_{\mathrm{b}}):
\mathrm{Im} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{ImH^+} + \mathrm{OH^-}
e a expressão de equilíbrio é
K_{\mathrm{b}}=\dfrac{[\mathrm{ImH^+}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{Im}]}.
  • Para o cloridrato de imidazol (o ácido conjugado \mathrm{ImH^+}, constante K_{\mathrm{a}}):
\mathrm{ImH^+} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{Im} + \mathrm{H_3O^+}
e a expressão de equilíbrio é
K_{\mathrm{a}}=\dfrac{[\mathrm{Im}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{ImH^+}]}.
Nota pedagógica: as duas reações são a mesma transferência de próton escrita em direções opostas; isso garante a relação
K_{\mathrm{a}}K_{\mathrm{b}}=K_w,
onde K_w é o produto iônico da água.

Passo 3

Calcular quantidades de matéria (moles) a partir das massas dadas.
Primeiro calculo as massas molares (explico como):
  • Imidazol tem fórmula \mathrm{C_3H_4N_2}. Usando massas atómicas aproximadas ( C=12{,}01, H=1{,}008, N=14{,}01):
M(\mathrm{Im}) = 3\cdot12{,}01 + 4\cdot1{,}008 + 2\cdot14{,}01 = 68{,}08\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • O cloridrato de imidazol é essencialmente \mathrm{ImH^+Cl^-}. Sua massa molar é
M(\mathrm{ImH^+Cl^-}) = M(\mathrm{Im}) + M(\mathrm{H}) + M(\mathrm{Cl}) = 68{,}08 + 1{,}008 + 35{,}45 = 104{,}54\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
Agora os moles:
n_{\mathrm{Im}}=\dfrac{1{,}00\\ \mathrm{g}}{68{,}08\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=0{,}01469\\ \mathrm{mol}.
n_{\mathrm{ImH^+Cl^-}}=\dfrac{1{,}00\\ \mathrm{g}}{104{,}54\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=0{,}00957\\ \mathrm{mol}.
Explicação curta: dividir a massa dada pela massa molar dá a quantidade de mols — é assim que passamos de gramas para mols.

Passo 4

Obter as concentrações iniciais na solução após diluição a 100,0\\ \mathrm{mL} = 0,1000\\ \mathrm{L}.
Concentrações (assumindo que nenhum outro processo significativo consome as espécies — aqui a mistura de uma base e seu ácido conjugado forma um tampão, sem reação ácido-base que mude a estequiometria total):
[\mathrm{Im}] = \dfrac{n_{\mathrm{Im}}}{V}=\dfrac{0{,}01469\\ \mathrm{mol}}{0{,}1000\\ \mathrm{L}}=0{,}1469\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
[\mathrm{ImH^+}] = \dfrac{n_{\mathrm{ImH^+Cl^-}}}{V}=\dfrac{0{,}00957\\ \mathrm{mol}}{0{,}1000\\ \mathrm{L}}=0{,}0957\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Comentário didático: como o íon \mathrm{Cl^-} é espectador neste equilíbrio ácido-base, a concentração do ácido conjugado \mathrm{ImH^+} é igual à concentração do cloridrato adicionado (exceto por efeitos de ionização adicionais, desprezados aqui porque já temos espécies perfeitamente ionizadas).

Passo 5

Escolher método para calcular o pH: tampão e Henderson–Hasselbalch.
Explicação didática do método: quando se tem uma mistura da base fraca e do seu ácido conjugado em concentrações conhecidas, é muito prático usar a equação de Henderson–Hasselbalch, que se obtém assim:
Começa-se de
K_{\mathrm{a}}=\dfrac{[\mathrm{Im}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{ImH^+}]}.
Tomando -\log de ambos os lados e lembrando pK_a=-\log K_a e pH=-\log [\mathrm{H_3O^+}], chega-se a
pH = pK_a + \log\!\left(\dfrac{[\mathrm{Im}]}{[\mathrm{ImH^+}]}\right).
Esta fórmula é válida quando as concentrações usadas são as das espécies conjugadas presentes (ou seja, quando mudanças por ionização adicional são pequenas — condição satisfeita aqui porque temos quantidades comparáveis de ácido e base).

Passo 6

Aplicar Henderson–Hasselbalch com os valores numéricos.
Usando pK_a(\mathrm{ImH^+})=6{,}99 (valor experimental a 25^\circ\mathrm{C}), e as concentrações calculadas:
pH = 6{,}99 + \log\!\left(\dfrac{0{,}1469}{0{,}0957}\right).
Calcular a razão e o logaritmo:
\dfrac{0{,}1469}{0{,}0957}=1{,}535
\log(1{,}535)=0{,}186.
Logo
pH = 6{,}99 + 0{,}186 = 7{,}176 \approx 7{,}18.
Explicação curta: o pH ficou um pouco acima do pK_a porque há mais base ( \mathrm{Im}) do que ácido conjugado ( \mathrm{ImH^+}) na solução; se fossem iguais, o pH seria igual ao pK_a.

Passo 7

Verificação conceitual e interpretação final.
  • A mistura forma um tampão imidazol/imidazolio, então usar Henderson–Hasselbalch é apropriado.
  • A pequena diferença nas quantidades (mais base do que ácido) desloca o pH para um valor ligeiramente básico em relação ao pK_a.
  • Se fosse necessário um cálculo por equilíbrio completo (montando tabelas ICE), o resultado seria praticamente o mesmo, porque as concentrações iniciais são suficientemente grandes comparadas com as alterações por autoionização da água.

Resposta

(a) \mathrm{Im} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{ImH^+} + \mathrm{OH^-}\quad\text{com}\quad K_{\mathrm{b}}=\dfrac{[\mathrm{ImH^+}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{Im}]}
(a) \mathrm{ImH^+} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{Im} + \mathrm{H_3O^+}\quad\text{com}\quad K_{\mathrm{a}}=\dfrac{[\mathrm{Im}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{ImH^+}]}
(b) pH \approx 7{,}18

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