Escreva (relembre) as seguintes definições:
(a) Matriz reduzida na forma escada.

Passo 1

O enunciado pede para escrever (relembrar) a definição de uma única coisa:
(a) matriz reduzida na forma escada.
Informações disponíveis:
  • Apenas o nome da definição a ser dada: “matriz reduzida na forma escada”.
  • Não há dados numéricos nem matriz específica no enunciado.

Passo 2

Antes de dar a definição formal, vou explicar com calma os conceitos básicos que aparecem na definição para você não se perder na prova.
O que é uma “linha não-nula” e o que é um “pivô”?
  • Linha não-nula: é uma linha da matriz que tem pelo menos um elemento diferente de 0.
  • Pivô (ou posição de pivô) de uma linha não-nula: é o primeiro elemento não-nulo dessa linha, quando se lê da esquerda para a direita. Em muitos procedimentos queremos transformar esse pivô em 1 e zerear os outros elementos da coluna.
Essas palavras vão aparecer na definição; por isso já as deixei claras.

Passo 3

Agora explico as ideias por trás da “forma escada” (antes de “reduzida”): uma matriz está em forma escada (row echelon form) quando apresenta uma organização em degraus — cada linha não-nula começa mais à direita do que a linha acima — e as linhas nulas (se houver) ficam embaixo. Em termos práticos, isso significa:
  • A primeira entrada não-nula de cada linha não-nula (o pivô) aparece sempre à direita do pivô da linha imediatamente acima.
  • Todas as entradas abaixo de um pivô são 0.
  • Todas as linhas nulas ficam abaixo das linhas não-nulas.
Isso já é útil para resolver sistemas linearmente (eliminando incógnitas de cima para baixo).

Passo 4

A “matriz reduzida na forma escada” (também chamada de reduced row echelon form, RREF) adiciona duas condições extras que tornam a forma canônica e única. Vou listar e explicar cada condição em palavras simples e depois mostrar um exemplo prático.
Condições que uma matriz deve obedecer para ser considerada reduzida na forma escada:
  • Condição A: todas as regras da forma escada valem (pivôs deslocam-se para a direita linha a linha; zeros abaixo dos pivôs; linhas nulas em baixo).
  • Condição B: cada pivô é igual a 1. Ou seja, o primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é 1.
  • Condição C: em cada coluna que contém um pivô, todos os demais elementos dessa coluna são 0 (ou seja, o pivô é o único elemento não-nulo na sua coluna — há zeros acima e abaixo do pivô).
Explicando em linguagem de prova/exame: além de ter a forma escada, os pivôs devem ser “leading ones” (uns líderes) e suas colunas devem ser unidades canônicas (apenas o 1 do pivô e zeros nos outros lugares).

Passo 5

Por que isso é útil e o que vale lembrar para a prova?
  • A forma reduzida por linhas é única: para uma dada matriz existe exatamente uma matriz reduzida na forma escada alcançável por operações elementares de linha. Isso é ótimo, porque significa que se você obtiver duas matrizes diferentes, alguma operação foi feita errado.
  • Operações permitidas para chegar nela: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não-nulo, adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha. Essas são as operações que se usam em eliminação gaussiana (para chegar à forma escada) e em Gauss–Jordan (para chegar à forma reduzida).
  • Estratégia prática na prova: primeiro eliminar abaixo dos pivôs para conseguir a forma escada (Gaussian elimination); depois normalizar cada pivô para 1 e eliminar acima dos pivôs para obter zeros em toda a coluna do pivô (Gauss–Jordan).

Passo 6

Vou mostrar um exemplo passo a passo (sem pular etapas) para que você veja exatamente como aplicar as ideias. Tome a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]2 & -1 & 3\\[4pt]0 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Objetivo: transformar A na sua forma reduzida na forma escada.
  1. Eliminar abaixo do pivô da primeira linha (pivô inicial em posição (1,1), que já é 1):
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
    • 2 - 2\cdot1 = 0,
    • -1 - 2\cdot2 = -5,
    • 3 - 2\cdot(-1) = 5.
      Resultado:
    \begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & -5 & 5\\[4pt]0 & 1 & 4\end{pmatrix}.
  1. Agora o pivô da segunda linha idealmente deve estar em (2,2). Para facilitar, trocamos R_2 e R_3 porque R_3 já tem um 1 em (3,2):
  • Fazer R_2 \leftrightarrow R_3: \begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & 1 & 4\\[4pt]0 & -5 & 5\end{pmatrix}.
  1. Eliminar abaixo do pivô em (2,2):
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2.
    • -5 + 5\cdot1 = 0,
    • 5 + 5\cdot4 = 25.
      Resultado:
    \begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & 1 & 4\\[4pt]0 & 0 & 25\end{pmatrix}.Agora temos forma escada (pivôs em (1,1), (2,2), (3,3) e zeros abaixo deles).
  1. Normalizar pivôs para 1:
  • Fazer R_3 \leftarrow \dfrac{1}{25}R_3: \begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]0 & 1 & 4\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Eliminar acima do pivô em (3,3) (Gauss–Jordan):
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 4R_3: (0,1,4) - 4\cdot(0,0,1) = (0,1,0).
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 + 1\cdot R_3: (1,2,-1) + (0,0,1) = (1,2,0).
    Matriz: \begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Eliminar acima do pivô em (2,2):
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2: (1,2,0) - 2\cdot(0,1,0) = (1,0,0).
    Matriz final: \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Esta é a forma reduzida na forma escada de A (no caso, a matriz identidade). Observe que: pivôs iguais a 1; em cada coluna de pivô, todos os outros elementos são 0; linhas nulas (nenhuma aqui) estariam embaixo.]

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (no estilo amigo incentivador):
  • Procure sempre o primeiro pivô na primeira linha, torne-o 1 se possível e zere abaixo; avance linha a linha.
  • Evite frações cedo trocando linhas quando conveniente (como no exemplo).
  • Depois de obter a forma escada, volte para cima transformando cada pivô em 1 (se ainda não for) e zere os elementos acima — isso garante que a forma seja a reduzida.
  • Lembre-se: a forma reduzida por linhas é única — um ótimo cheque de sanidade.

Resposta

Uma matriz está em forma reduzida na forma escada (forma reduzida por linhas) se satisfaz todas as condições seguintes:
  • todas as linhas nulas, se existirem, estão abaixo das linhas não-nulas;
  • o primeiro elemento não-nulo (pivô) de cada linha não-nula aparece estritamente à direita do pivô da linha acima;
  • em cada coluna que contém um pivô, esse pivô é igual a 1;
  • em cada coluna que contém um pivô, todos os outros elementos dessa coluna são 0.

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