Escreva (relembre) as seguintes definições:
(a) Matriz reduzida na forma escada.
Passo 1
O enunciado pede para escrever (relembrar) a definição de uma única coisa:
(a) matriz reduzida na forma escada.
Informações disponíveis:
Apenas o nome da definição a ser dada: “matriz reduzida na forma escada”.
Não há dados numéricos nem matriz específica no enunciado.
Passo 2
Antes de dar a definição formal, vou explicar com calma os conceitos básicos que aparecem na definição para você não se perder na prova.
O que é uma “linha não-nula” e o que é um “pivô”?
Linha não-nula: é uma linha da matriz que tem pelo menos um elemento diferente de 0.
Pivô (ou posição de pivô) de uma linha não-nula: é o primeiro elemento não-nulo dessa linha, quando se lê da esquerda para a direita. Em muitos procedimentos queremos transformar esse pivô em 1 e zerear os outros elementos da coluna.
Essas palavras vão aparecer na definição; por isso já as deixei claras.
Passo 3
Agora explico as ideias por trás da “forma escada” (antes de “reduzida”): uma matriz está em forma escada (row echelon form) quando apresenta uma organização em degraus — cada linha não-nula começa mais à direita do que a linha acima — e as linhas nulas (se houver) ficam embaixo. Em termos práticos, isso significa:
A primeira entrada não-nula de cada linha não-nula (o pivô) aparece sempre à direita do pivô da linha imediatamente acima.
Todas as entradas abaixo de um pivô são 0.
Todas as linhas nulas ficam abaixo das linhas não-nulas.
Isso já é útil para resolver sistemas linearmente (eliminando incógnitas de cima para baixo).
Passo 4
A “matriz reduzida na forma escada” (também chamada de reduced row echelon form, RREF) adiciona duas condições extras que tornam a forma canônica e única. Vou listar e explicar cada condição em palavras simples e depois mostrar um exemplo prático.
Condições que uma matriz deve obedecer para ser considerada reduzida na forma escada:
Condição A: todas as regras da forma escada valem (pivôs deslocam-se para a direita linha a linha; zeros abaixo dos pivôs; linhas nulas em baixo).
Condição B: cada pivô é igual a 1. Ou seja, o primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é 1.
Condição C: em cada coluna que contém um pivô, todos os demais elementos dessa coluna são 0 (ou seja, o pivô é o único elemento não-nulo na sua coluna — há zeros acima e abaixo do pivô).
Explicando em linguagem de prova/exame: além de ter a forma escada, os pivôs devem ser “leading ones” (uns líderes) e suas colunas devem ser unidades canônicas (apenas o 1 do pivô e zeros nos outros lugares).
Passo 5
Por que isso é útil e o que vale lembrar para a prova?
A forma reduzida por linhas é única: para uma dada matriz existe exatamente uma matriz reduzida na forma escada alcançável por operações elementares de linha. Isso é ótimo, porque significa que se você obtiver duas matrizes diferentes, alguma operação foi feita errado.
Operações permitidas para chegar nela: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não-nulo, adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha. Essas são as operações que se usam em eliminação gaussiana (para chegar à forma escada) e em Gauss–Jordan (para chegar à forma reduzida).
Estratégia prática na prova: primeiro eliminar abaixo dos pivôs para conseguir a forma escada (Gaussian elimination); depois normalizar cada pivô para 1 e eliminar acima dos pivôs para obter zeros em toda a coluna do pivô (Gauss–Jordan).
Passo 6
Vou mostrar um exemplo passo a passo (sem pular etapas) para que você veja exatamente como aplicar as ideias. Tome a matriz
Esta é a forma reduzida na forma escada de A (no caso, a matriz identidade). Observe que: pivôs iguais a 1; em cada coluna de pivô, todos os outros elementos são 0; linhas nulas (nenhuma aqui) estariam embaixo.]
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (no estilo amigo incentivador):
Procure sempre o primeiro pivô na primeira linha, torne-o 1 se possível e zere abaixo; avance linha a linha.
Evite frações cedo trocando linhas quando conveniente (como no exemplo).
Depois de obter a forma escada, volte para cima transformando cada pivô em 1 (se ainda não for) e zere os elementos acima — isso garante que a forma seja a reduzida.
Lembre-se: a forma reduzida por linhas é única — um ótimo cheque de sanidade.
Resposta
Uma matriz está em forma reduzida na forma escada (forma reduzida por linhas) se satisfaz todas as condições seguintes:
todas as linhas nulas, se existirem, estão abaixo das linhas não-nulas;
o primeiro elemento não-nulo (pivô) de cada linha não-nula aparece estritamente à direita do pivô da linha acima;
em cada coluna que contém um pivô, esse pivô é igual a 1;
em cada coluna que contém um pivô, todos os outros elementos dessa coluna são 0.