Sejam
para os exercícios 16, 17, 18 e 19.
Encontre a matriz
tal que
.
Encontre a matriz
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pedido: encontrar a matriz
tal que
- Matrizes dadas (peguei os dados do enunciado):
- Observação:
significa a transposta de . As matrizes e foram fornecidas no enunciado, mas não são necessárias para este exercício.]
Passo 2
Organizar a equação para juntar os termos que contêm
. Partimos de
Vou transformar a equação para isolar os termos com
no mesmo lado. Somando
em ambos os lados e somando
em ambos os lados obtém-se
Passo 3
Fatoração à esquerda por
. Nas matrizes vale a distributividade à esquerda, portanto
Assim a equação fica
Passo 4
Estratégia para resolver: se a matriz
for invertível, podemos multiplicar à esquerda por
e obter
Vou calcular explicitamente
, verificar que é invertível e então computar
.
Passo 5
Calcular
(transposta de
) e
. A transposta troca linhas por colunas, logo
Somando
e
:
Passo 6
Verificar invertibilidade de
e calcular a inversa. Para uma matriz
desde que o determinante
seja diferente de zero. Aqui
,
,
,
. Então o determinante é
logo a matriz é invertível. A inversa é
Passo 7
Calcular
. Primeiro
é:
Somando
:
Passo 8
Agora calcular
. Substituindo as matrizes já encontradas:
Vou multiplicar as duas matrizes
antes de aplicar o fator
.]
Passo 9
Multiplicação elementar das matrizes:
Passo 10
Aplicar o fator
e simplificar frações:
Passo 11
Breve verificação (conforto para a prova): pode-se substituir
na equação original e checar que os dois lados coincidem. Os cálculos feitos anteriormente garantem a consistência porque segui passos algébricos válidos e usei a inversa de uma matriz com determinante não nulo.