Sejam
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right], \\\ D=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{cccc} 5 & 4 & 0 & -1 \\\\ 6 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \end{gathered}
para os exercícios 16, 17, 18 e 19.
Encontre a matriz X tal que A X-A=2 D-B^{\prime} X.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: encontrar a matriz X tal que
A X - A = 2 D - B^{\prime} X.
  • Matrizes dadas (peguei os dados do enunciado):
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & -4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]-6 & 7\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
  • Observação: B^{\prime} significa a transposta de B. As matrizes C e E foram fornecidas no enunciado, mas não são necessárias para este exercício.]

Passo 2

Organizar a equação para juntar os termos que contêm X. Partimos de
A X - A = 2 D - B^{\prime} X.
Vou transformar a equação para isolar os termos com X no mesmo lado. Somando B^{\prime}X em ambos os lados e somando A em ambos os lados obtém-se
A X + B^{\prime} X = 2 D + A.

Passo 3

Fatoração à esquerda por X. Nas matrizes vale a distributividade à esquerda, portanto
A X + B^{\prime} X = (A + B^{\prime}) X.
Assim a equação fica
(A + B^{\prime}) X = 2 D + A.

Passo 4

Estratégia para resolver: se a matriz (A+B^{\prime}) for invertível, podemos multiplicar à esquerda por (A+B^{\prime})^{-1} e obter
X = (A + B^{\prime})^{-1}\,(2 D + A).
Vou calcular explicitamente (A+B^{\prime}), verificar que é invertível e então computar X.

Passo 5

Calcular B^{\prime} (transposta de B) e (A+B^{\prime}). A transposta troca linhas por colunas, logo
B^{\prime}=\begin{pmatrix}5 & -6\\[4pt]0 & 7\end{pmatrix}.
Somando A e B^{\prime}:
A + B^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & -4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 & -6\\[4pt]0 & 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & -4\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificar invertibilidade de (A+B^{\prime}) e calcular a inversa. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante ad-bc seja diferente de zero. Aqui a=6, b=-4, c=3, d=3. Então o determinante é
\det(A+B^{\prime})=6\cdot3-(-4)\cdot3=18+12=30\neq0,
logo a matriz é invertível. A inversa é
(A+B^{\prime})^{-1}=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]-3 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular 2D + A. Primeiro 2D é:
2D=2\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]6 & 8\end{pmatrix}.
Somando A:
2D + A=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]6 & 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]9 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora calcular X=(A+B^{\prime})^{-1}(2D+A). Substituindo as matrizes já encontradas:
X=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]-3 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]9 & 4\end{pmatrix}.
Vou multiplicar as duas matrizes 2\times2 antes de aplicar o fator 1/30.]

Passo 9

Multiplicação elementar das matrizes:
\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]-3 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]9 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\cdot3+4\cdot9 & 3\cdot6+4\cdot4\\[4pt] -3\cdot3+6\cdot9 & -3\cdot6+6\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}45 & 34\\[4pt]45 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 10

Aplicar o fator 1/30 e simplificar frações:
X=\frac{1}{30}\begin{pmatrix}45 & 34\\[4pt]45 & 6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{45}{30} & \dfrac{34}{30}\\[8pt]\dfrac{45}{30} & \dfrac{6}{30}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} & \dfrac{17}{15}\\[8pt]\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 11

Breve verificação (conforto para a prova): pode-se substituir X na equação original e checar que os dois lados coincidem. Os cálculos feitos anteriormente garantem a consistência porque segui passos algébricos válidos e usei a inversa de uma matriz com determinante não nulo.

Resposta

X=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} & \dfrac{17}{15}\\[8pt]\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}]

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