Sejam
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right], \\\ D=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{cccc} 5 & 4 & 0 & -1 \\\\ 6 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \end{gathered}
para os exercícios 16, 17, 18 e 19.
Verifique se A E+5 E=\left(A+5 I_{2}\right) E.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
AE+5E=\left(A+5I_{2}\right)E.
As informações fornecidas são as matrizes (peguei todas as entradas do enunciado):
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & -4\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}5 & 4 & 0 & -1\\[4pt]6 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix},\quad I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Não há outras perguntas: só verificar a igualdade indicada.]

Passo 2

Checar dimensões para saber se as operações estão definidas.
  • A é 2\times2.
  • E é 2\times4.
  • Produto AE está definido porque o número de colunas de A (2) coincide com o número de linhas de E (2); o resultado será uma matriz 2\times4.
  • I_{2} é 2\times2, então A+5I_{2} é bem definida e tem dimensão 2\times2; então (A+5I_{2})E também será 2\times4.
  • Logo ambos os lados da igualdade são matrizes 2\times4 e a comparação faz sentido.

Passo 3

Lembrando a definição de multiplicação de matrizes: se F=GH com G de dimensão m\times n e H de dimensão n\times p, então
F_{ij}=\sum_{k=1}^{n} G_{ik}H_{kj},
ou seja, cada entrada é o produto escalar da i-ésima linha de G pela j-ésima coluna de H. Vou usar isso para calcular AE.
Calcule AE. As linhas de A são (1,2) e (3,-4). As colunas de E são (5,6)^{T},(4,1)^{T},(0,-1)^{T},(-1,0)^{T}.
  • Primeira linha de AE: \begin{aligned} (AE)_{1,1}&=1\cdot5+2\cdot6=5+12=17,\\\ (AE)_{1,2}&=1\cdot4+2\cdot1=4+2=6,\\\ (AE)_{1,3}&=1\cdot0+2\cdot(-1)=0-2=-2,\\\ (AE)_{1,4}&=1\cdot(-1)+2\cdot0=-1+0=-1. \end{aligned}
  • Segunda linha de AE: \begin{aligned} (AE)_{2,1}&=3\cdot5+(-4)\cdot6=15-24=-9,\\\ (AE)_{2,2}&=3\cdot4+(-4)\cdot1=12-4=8,\\\ (AE)_{2,3}&=3\cdot0+(-4)\cdot(-1)=0+4=4,\\\ (AE)_{2,4}&=3\cdot(-1)+(-4)\cdot0=-3+0=-3. \end{aligned}
Portanto
AE=\begin{pmatrix}17 & 6 & -2 & -1\\[4pt]-9 & 8 & 4 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcule 5E (multiplicação por escalar é feita entrada a entrada: (5E)_{ij}=5\cdot E_{ij} ).
5E=\begin{pmatrix} 5\cdot5 & 5\cdot4 & 5\cdot0 & 5\cdot(-1)\\[4pt] 5\cdot6 & 5\cdot1 & 5\cdot(-1) & 5\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}25 & 20 & 0 & -5\\[4pt]30 & 5 & -5 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Some AE e 5E componente a componente para obter AE+5E:
AE+5E=\begin{pmatrix} 17+25 & 6+20 & -2+0 & -1+(-5)\\[4pt] -9+30 & 8+5 & 4+(-5) & -3+0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}42 & 26 & -2 & -6\\[4pt]21 & 13 & -1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcule A+5I_{2}. Primeiro 5I_{2}=\begin{pmatrix}5&0\\[4pt]0&5\end{pmatrix}. Então
A+5I_{2}=\begin{pmatrix}1+5 & 2+0\\[4pt]3+0 & -4+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 2\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcule (A+5I_{2})E usando multiplicação de matrizes (mesma regra do Passo 3). Linhas de A+5I_{2}: (6,2) e (3,1).
  • Primeira linha: \begin{aligned} ((A+5I_{2})E)_{1,1}&=6\cdot5+2\cdot6=30+12=42,\\\ ((A+5I_{2})E)_{1,2}&=6\cdot4+2\cdot1=24+2=26,\\\ ((A+5I_{2})E)_{1,3}&=6\cdot0+2\cdot(-1)=0-2=-2,\\\ ((A+5I_{2})E)_{1,4}&=6\cdot(-1)+2\cdot0=-6+0=-6. \end{aligned}
  • Segunda linha: \begin{aligned} ((A+5I_{2})E)_{2,1}&=3\cdot5+1\cdot6=15+6=21,\\\ ((A+5I_{2})E)_{2,2}&=3\cdot4+1\cdot1=12+1=13,\\\ ((A+5I_{2})E)_{2,3}&=3\cdot0+1\cdot(-1)=0-1=-1,\\\ ((A+5I_{2})E)_{2,4}&=3\cdot(-1)+1\cdot0=-3+0=-3. \end{aligned}
Portanto
(A+5I_{2})E=\begin{pmatrix}42 & 26 & -2 & -6\\[4pt]21 & 13 & -1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Comparando os resultados dos Passos 5 e 7, obtemos a mesma matriz. Assim a igualdade é verdadeira. Explicação conceitual curta (útil para a prova): para qualquer matriz E com compatibilidade de dimensões vale I_{2}E=E e, usando a distributividade da multiplicação matricial,
(A+5I_{2})E=AE+(5I_{2})E=AE+5(E)=AE+5E,
o que justifica a identidade em geral.

Resposta

AE+5E=(A+5I_{2})E=\begin{pmatrix}42 & 26 & -2 & -6\\[4pt]21 & 13 & -1 & -3\end{pmatrix}]

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