Escreva a representação em espaço de estado do sistema em malha fechada assumindo uma referência r(k) como entrada e y(k) como a saída.

Passo 1

Beleza, então o que a questão está pedindo é: “montar o modelo em espaço de estados do sistema já com a realimentação fechada, usando a referência r(k) como entrada e a saída y(k).”
Matéria envolvida: sistemas em tempo discreto e realimentação de estado.
O que vamos precisar:
  1. O modelo em espaço de estados do sistema em malha aberta;
  2. A lei de controle em realimentação de estado (u(k) em função de x(k) e r(k));
  3. Juntar tudo para extrair A_cl, B_cl, C_cl e D_cl do sistema fechado.

Passo 2

Primeiro, lembrando o sistema em malha aberta (tempo discreto):
x(k+1) = A,x(k) + B,u(k), y(k) = C,x(k)
A lei de controle em realimentação de estado normalmente é:
u(k) = -K,x(k) ;+; Kr,r(k),
onde
é o vetor (ou matriz) de ganho de realimentação de estado;
é um ganho de avanço (feedforward) para impor o seguidor de referência.

Passo 3

Agora, a gente substitui x(k+1) ;=; A,x(k) + Bl(-K,x(k) + Kr,r(k)r) na equação de x(k+1) = l(A - B,Kr)x(k) ;+; B,Kr,r(k) :
Distributivo do B dá:
E a saída continua sendo só , já que não temos termo direto em .

Passo 4

Pronto! A gente já tem o formato padrão de espaço de estados para o sistema fechado. Basta nomear:
Acl = A - B,K, Bcl = B,Kr, Ccl = C, Dcl = 0

Resposta

O modelo em espaço de estados do sistema em malha fechada, com entrada boxed x(k+1) = (A - B,K),x(k) + B,Kr,r(k),[6pt] y(k) = C,x(k) e saída , é:

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