Obter a transformada z de x(t)=1a(1-e^-a t), sendo a uma constante;

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede a transformada Z de
x[n]=1al(1 - e^-a,nr),
onde a gente assume amostragem unitária (isto é, T=1). O assunto é “transformada Z” e, pra resolver, vamos precisar da definição
X(z)=sumn=0^infty x[n],z^-n
e da fórmula de soma de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o somatório usando a definição:
X(z) =sumn=0^infty 1al(1 - e^-a nr),z^-n =1asumn=0^infty z^-n ;-;1asumn=0^inftyl(e^-ar)^n,z^-n
Ou seja, dividimos em duas somas: uma de z^-n e outra de (e^-a)^n z^-n.

Passo 3

Agora usamos a soma da série geométrica, que diz
sumn=0^infty r^n = 11 - r, para |r|<1
Então:
1) Para r=z^-1:
sumn=0^infty z^-n = 11 - z^-1,
  1. Para r=e^-az^-1:$$\sum_{n=0}^\infty (e{-a})n z^{-n}= \frac{1}{1 - e{-a}z{-1}},. $$

Passo 4

Substituindo de volta em X(z), temos
X(z) =1agl(11 - z^-1 ;-;11 - e^-az^-1gr)
Para deixar “bonitinho”, a gente junta num único quociente:
X(z) =1a;l(1 - e^-az^-1r);-;l(1 - z^-1r) (1 - z^-1)(1 - e^-az^-1) =z^-1(1 - e^-a)a,(1 - z^-1)(1 - e^-az^-1)
Multiplicando numerador e denominador por z^2 para evitar inversos em z:
X(z) =z,(1 - e^-a)a,(z - 1),(z - e^-a)

Resposta

boxed X(z) =z,(1 - e^-a)a,(z - 1),(z - e^-a) , |z|>1

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