Escreva os seguintes conjuntos utilizando a notação de intervalo.
{x \in \mathbb{R}, x \leq-3 e x>12}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\{x \in \mathbb{R},\\ x \leq -3\\ \text{e}\\ x>12\}.
O que pede é escrever esse conjunto usando notação de intervalo.

Passo 2

Explicando a notação de intervalo (mini-aula rápida e prática).
  • Um intervalo com extremidade fechada usa colchetes: [a,b] significa todos os x tais que a \leq x \leq b.
  • Um intervalo com extremidade aberta usa parênteses: (a,b) significa a < x < b.
  • Para extremos infinitos usa-se -\infty ou +\infty, sempre com parênteses: (-\infty,b], (a,+\infty), porque não faz sentido escrever -\infty ou +\infty como fechados.
  • A união de dois conjuntos é indicada por \cup e a interseção por \cap.

Passo 3

Converter cada condição isoladamente em intervalo.
  • A condição \,x \leq -3 corresponde ao intervalo (-\infty,-3]. (Explicação: todos os números menores ou iguais a -3.)
  • A condição \,x>12 corresponde ao intervalo (12,+\infty). (Explicação: todos os números maiores que 12.)

Passo 4

Analisar a combinação dada no enunciado: a palavra \text{e} significa que ambos os requisitos devem valer simultaneamente, ou seja, estamos fazendo a interseção dos conjuntos.
  • Em notação de intervalos isso seria
(-\infty,-3] \cap (12,+\infty).
  • Qualquer número x que satisfaça x\leq -3 não pode satisfazer x>12 ao mesmo tempo. Logo não existe x\in\mathbb{R} que pertença a ambos os intervalos.
  • Portanto a interseção é o conjunto vazio:
(-\infty,-3] \cap (12,+\infty) = \varnothing.

Passo 5

Observação prática para provas (muito comum): se o enunciado quisesse os x que satisfazem “ x\leq -3 ou x>12” (ou seja, a união), a notação de intervalo seria a união dos dois intervalos que encontramos:
(-\infty,-3] \cup (12,+\infty).
Use \cup quando for “ou”, e \cap quando for “e”.

Passo 6

Resumo e dica de prova:
  • Leia com atenção se o conectivo é “e” (interseção) ou “ou” (união).
  • Converta cada condição isolada para um intervalo e depois aplique \cap ou \cup conforme o caso.
  • Se aparecerem intervalos com \pm\infty, lembre-se de usar parênteses nesses extremos.

Resposta

\varnothing
(-\infty,-3]\cup(12,+\infty)

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