Escreva os seguintes conjuntos utilizando a notação de intervalo.
{x \in \mathbb{R} \mid x<-2 ; 1<x \leq 4 ; x \geq 9}.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever o conjunto dado usando notação de intervalo.
Informações fornecidas (três condições sobre x):
  • x < -2.
  • 1 < x \leq 4.
  • x \geq 9.
O objetivo final é expressar a união dessas partes da reta real em notação de intervalo.

Passo 2

Rápida revisão sobre notação de intervalo (para eu te lembrar como usar na prova).
  • Um intervalo aberto (a,b) significa todos os x tais que a < x < b. Parentêses () indicam que os extremos a e b NÃO estão incluídos.
  • Um intervalo fechado [a,b] significa todos os x tais que a \le x \le b. Colchetes [] indicam que os extremos estão incluídos.
  • Quando o intervalo vai até o infinito usamos \infty ou -\infty. Esses extremos não podem ser incluídos, então sempre aparecem com parentêses: (-\infty,a) ou (b,\infty).
  • A união de intervalos é indicada por \cup (lê-se “ou”): se o conjunto é a reunião de várias partes da reta, escreve-se a união delas.

Passo 3

Converter cada condição em um intervalo, explicando passos e por que escolhemos parênteses ou colchetes.
  1. Para x < -2: isso inclui todos os números menores que -2, mas NÃO inclui -2 (porque é estrito “<”). Vai até -\infty à esquerda, então o intervalo é
(-\infty,-2).
Aqui usamos parêntese em -2 porque -2 não pertence ao conjunto.
  1. Para 1 < x \leq 4: isso inclui números maiores que 1 (mas não inclui 1) e inclui 4. Portanto o intervalo é
(1,4].
Usamos parêntese em 1 (pois 1 não entra) e colchete em 4 (pois 4 entra).
  1. Para x \geq 9: isso inclui 9 e todos os números maiores, indo até +\infty. Como +\infty não pode ser incluído, o intervalo é
[9,\infty).
Colchete em 9 porque 9 pertence ao conjunto.

Passo 4

Juntar as três partes com união (porque o enunciado separa as condições por ponto e vírgula, ou seja, x pertence a qualquer uma das partes). Assim o conjunto em notação de intervalo é
(-\infty,-2)\cup(1,4]\cup[9,\infty).

Passo 5

Observação sobre ordem: normalmente escrevemos os intervalos da esquerda para a direita na reta real. Aqui a ordem que coloquei já está crescente: primeiro os números menores que -2, depois entre 1 e 4, depois a partir de 9. Não há sobreposição entre esses intervalos (são disjuntos), então não há simplificação adicional possível.

Resposta

(-\infty,-2)\cup(1,4]\cup[9,\infty)

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