Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
i) \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{2 x^{2}+3 x+2}{6-4 x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2} \sqrt{\frac{2x^{2}+3x+2}{6-4x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada (função g(t)=\sqrt{t}), que só está definida nos reais quando t\ge 0.
  • Dentro da raiz aparece a função racional
f(x)=\frac{2x^{2}+3x+2}{6-4x}.
O objetivo é avaliar o comportamento de g(f(x)) quando x\to 2, e determinar se o limite existe (no conjunto dos números reais).

Passo 2

Analisar o sinal do numerador 2x^{2}+3x+2 perto de x=2, porque o sinal do quociente determina se a raiz quadrada tem sentido real.
Usar a propriedade de um polinômio quadrático: o sinal de ax^{2}+bx+c é constante se o discriminante \Delta=b^{2}-4ac for negativo. Calcular o discriminante do numerador:
\Delta = 3^{2}-4\cdot 2\cdot 2 = 9-16 = -7 < 0.
Como \Delta<0 e o coeficiente líder 2>0, conclui-se que 2x^{2}+3x+2>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, o numerador é positivo em qualquer vizinhança de x=2.

Passo 3

Analisar o sinal do denominador 6-4x em torno de x=2. Substituindo x=2 obtemos 6-4\cdot 2=6-8=-2<0. Como 6-4x é contínua e muda de sinal apenas em x=\tfrac{6}{4}=1{,}5, para x suficientemente próximo de 2 temos 6-4x<0.
Juntando passo 2 e passo 3: para x suficientemente próximo de 2 (mas x\neq 2) o numerador é positivo e o denominador é negativo, logo
f(x)=\frac{2x^{2}+3x+2}{6-4x}<0
para todos os x em alguma vizinhança puncturada de 2. Em particular, f(x) permanece estritamente negativo ao se aproximar de 2.

Passo 4

Calcular o limite do interior f(x) por substituição direta, usando a propriedade de continuidade de polinômios e de quocientes: se o denominador no ponto de interesse não é zero, então a função racional é contínua e a substituição direta vale. Aqui o denominador em x=2 é -2\neq 0, portanto
\lim_{x\to 2} f(x) = \frac{2\cdot 2^{2} + 3\cdot 2 + 2}{6-4\cdot 2} = \frac{16}{-2} = -8.

Passo 5

Agora analisar a composição com a função raiz g(t)=\sqrt{t}. Há dois casos da teoria de limites de composição:
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e g é contínua em L, então \lim_{x\to a} g(f(x))=g(L).
  • Se g não é definida/contínua em L, não se pode aplicar a regra da continuidade; em particular, se L<0 e g(t)=\sqrt{t} (definida apenas para t\ge 0 nos reais), então g(L) não existe em \mathbb{R}.
Aqui encontramos \lim_{x\to 2} f(x) = -8 <0. A função g(t)=\sqrt{t} não está definida em -8 no conjunto dos números reais, e além disso, como vimos em

Passo 6

Conclusão final com base nos passos anteriores e nas propriedades teóricas usadas:
  • Foi usada continuidade de polinômios e de quociente de polinômios (quando o denominador no ponto não é zero) para obter \lim_{x\to 2} f(x)=-8.
  • Foi usada a definição do domínio da função raiz quadrada em \mathbb{R} (domínio [0,\infty)) para concluir que não existe g(-8) nos reais e que g(f(x)) não está definida como real em qualquer vizinhança de 2.
    Logo, o limite da composição não existe no conjunto dos números reais.

Resposta

O limite não existe no conjunto dos números reais: não existe em \mathbb{R}.

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