Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada (função
), que só está definida nos reais quando . - Dentro da raiz aparece a função racional
O objetivo é avaliar o comportamento de
quando
, e determinar se o limite existe (no conjunto dos números reais).
Passo 2
Analisar o sinal do numerador
perto de
, porque o sinal do quociente determina se a raiz quadrada tem sentido real.
Usar a propriedade de um polinômio quadrático: o sinal de
é constante se o discriminante
for negativo. Calcular o discriminante do numerador:
Como
e o coeficiente líder
, conclui-se que
para todo
. Portanto, o numerador é positivo em qualquer vizinhança de
.
Passo 3
Analisar o sinal do denominador
em torno de
. Substituindo
obtemos
. Como
é contínua e muda de sinal apenas em
, para
suficientemente próximo de
temos
.
Juntando passo 2 e passo 3: para
suficientemente próximo de
(mas
) o numerador é positivo e o denominador é negativo, logo
para todos os
em alguma vizinhança puncturada de
. Em particular,
permanece estritamente negativo ao se aproximar de
.
Passo 4
Calcular o limite do interior
por substituição direta, usando a propriedade de continuidade de polinômios e de quocientes: se o denominador no ponto de interesse não é zero, então a função racional é contínua e a substituição direta vale. Aqui o denominador em
é
, portanto
Passo 5
Agora analisar a composição com a função raiz
. Há dois casos da teoria de limites de composição:
- Se
e é contínua em , então . - Se
não é definida/contínua em , não se pode aplicar a regra da continuidade; em particular, se e (definida apenas para nos reais), então não existe em .
Aqui encontramos
. A função
não está definida em
no conjunto dos números reais, e além disso, como vimos em
Passo 6
Conclusão final com base nos passos anteriores e nas propriedades teóricas usadas:
- Foi usada continuidade de polinômios e de quociente de polinômios (quando o denominador no ponto não é zero) para obter
. - Foi usada a definição do domínio da função raiz quadrada em
(domínio ) para concluir que não existe nos reais e que não está definida como real em qualquer vizinhança de .
Logo, o limite da composição não existe no conjunto dos números reais.
Resposta
O limite não existe no conjunto dos números reais: não existe em
.