Resolva as seguintes equações e inequações.
|x-3|=4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x-3|=4.
Ou seja: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são:
  • há um valor absoluto envolvendo x, que é |x-3|;
  • o valor do módulo é igual a 4.

Passo 2

Vamos entender o que significa módulo (valor absoluto). Para qualquer número real y\) vale: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Interpretação geométrica (útil na hora da prova): |y|\] é a distância do número \(y até 0 na reta numérica. Mais geral, |x-3| é a distância entre x e 3.
Uma propriedade prática para resolver equações é: se temos
|u|=a
com a\ge 0, então isso é equivalente ao sistema
u=a\quad\text{ou}\quad u=-a.
Se a<0 não há solução porque módulo não pode ser negativo.]

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa equação, tome u=x-3 e a=4. Como 4\ge 0, temos as duas possibilidades:
x-3=4
ou
x-3=-4.
Agora resolvemos cada uma como uma equação linear simples.
Para x-3=4:
x-3=4 \quad\Rightarrow\quad x=4+3 \quad\Rightarrow\quad x=7.
Para x-3=-4:
x-3=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-4+3 \quad\Rightarrow\quad x=-1.

Passo 4

Verificação (sempre bom checar na prova): substituir os candidatos na equação original.
Para x=7:
|7-3|=|4|=4,
ok.
Para x=-1:
|-1-3|=|-4|=4,
ok.
Ambos satisfazem a equação, portanto são soluções válidas.

Passo 5

Interpretação rápida pela distância: |x-3|=4 pede todos os x que estão a distância 4 do ponto 3 na reta. Esses pontos são 3+4=7 e 3-4=-1, que coincidem com as soluções encontradas.

Resposta

x=-1
x=7

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