Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (i) escrevê-la na forma exata e (ii) encontrar a solução geral.
Conteúdo: usar coordenadas polares para simplificar termos como e
.
Conteúdo: usar coordenadas polares para simplificar termos como
Passo 2
Passamos para coordenadas polares
onde
e sabemos que
Substituindo na ODE original
, obtemos
Passo 3
Expressamos
em polares:
Então a equação
fica
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Sabemos que
Logo
Passo 5
Voltamos a
x,y . Note que
portanto
Da relação
ln r = lnllvert(r(r+y)/x^2)rrvert + C segue
onde
K=e^C . Cancelando
rneq0 e rearranjando dá
Passo 6
Substituindo
r=raizx^2+y^2 obtemos a solução implícita mais simples:
onde
C'= constante arbitrária (mudança de sinal absorvida).