Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
raizx^2+y^2 d x=x d y-y d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
raizx^2+y^2;dx ;=; x;dy ;-; y;dx
e pede (i) escrevê-la na forma exata e (ii) encontrar a solução geral.
Conteúdo: usar coordenadas polares para simplificar termos como raizx^2+y^2 e x,dy - y,dx.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde
raizx^2+y^2=r,
e sabemos que
x,dy - y,dx = r^2,dtheta
Substituindo na ODE original raizx^2+y^2,dx = x,dy - y,dx, obtemos
r,dx = r^2,dtheta

Passo 3

Expressamos dx em polares:
dx = d(rcostheta) = costheta,dr - rsintheta,dtheta
Então a equação r,dx = r^2,dtheta fica
rl(costheta,dr - rsintheta,dthetar) = r^2,dtheta Longrightarrow rcostheta,dr = r^2sintheta,dtheta + r^2,dtheta
Longrightarrow costheta,drr = (sintheta + 1),dtheta

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1r,dr = integral sintheta + 1costheta,dtheta =integrall(tantheta + secthetar),dtheta
Sabemos que
integral tantheta,dtheta = -lnlvertcosthetarvert, integral sectheta,dtheta = lnllvertsectheta + tanthetarrvert
Logo
lnlvert rrvert = -lnlvertcosthetarvert + lnllvertsectheta + tanthetarrvert + C = ln!llvertsectheta + tanthetacosthetarrvert + C

Passo 5

Voltamos a x,y. Note que
sectheta = rx, tantheta = yx,
portanto
sectheta+tanthetacostheta = rx + yxxr = r+yx,rx = r(r+y)x^2
Da relação ln r = lnllvert(r(r+y)/x^2)rrvert + C segue
r = K,r(r+y)x^2,
onde K=e^C. Cancelando rneq0 e rearranjando dá
x^2 = K,(r+y) Longrightarrow r+y = x^2K

Passo 6

Substituindo r=raizx^2+y^2 obtemos a solução implícita mais simples:
raizx^2+y^2 - y = C',
onde C'= constante arbitrária (mudança de sinal absorvida).

Resposta

boxedraizx^2+y^2 - y = C

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