Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a . Verifique se definidas abaixo definem um produto interno. Justifique. .
Passo 1
O enunciado define em Pn (polinômios reais de grau <= n) a aplicação
lang<= f,grang<= = l|integral0^1 f(t),g(t),dtr|
e pede para verificar se isso é produto interno. Para isso, lembramos os três axiomas de produto interno em espaço real:
(Definitude positiva) lang<= f,frang<=>=0 e lang<= f,frang<==0 sse f=0.
(Simetria) lang<= f,grang<= = lang<= g,frang<=.
(Linearidade no primeiro argumento) lang<= c,f + h,,grang<= = c,lang<= f,grang<= + lang<= h,grang<= para todo cinR.
Passo 2
Verificamos a definitude positiva. Para finPn,
lang<= f,frang<= = l|!integral0^1 f(t)^2,dtr|
Como f(t)^2>=0 em [0,1], tem-se integral0^1f(t)^2,dt>=0. Além disso, se fneq0 (polinômio não nulo), então f^2>0 num conjunto de medida positiva, logo integral0^1f^2>0. Concluímos que lang<= f,frang<=>0 para todo fneq0 e lang<= f,frang<==0 sse f=0.
Se fosse produto interno, precisaríamos de lang<= c,f,grang<= = c,lang<= f,grang<= para todo c. Mas aqui aparece |c| em vez de c. Por exemplo, tomando f=g=1 e c=-1: