Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja Pn o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Verifique se lang<=,rang<=: Pn times Pn R definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
lang<= f, grang<==|integral0^1 f(t) g(t) d t|.

Passo 1

O enunciado define em Pn (polinômios reais de grau <= n) a aplicação
lang<= f,grang<= = l|integral0^1 f(t),g(t),dtr|
e pede para verificar se isso é produto interno. Para isso, lembramos os três axiomas de produto interno em espaço real:
  1. (Definitude positiva) lang<= f,frang<=>=0 e lang<= f,frang<==0 sse f=0.
  2. (Simetria) lang<= f,grang<= = lang<= g,frang<=.
  3. (Linearidade no primeiro argumento) lang<= c,f + h,,grang<= = c,lang<= f,grang<= + lang<= h,grang<= para todo cinR.

Passo 2

Verificamos a definitude positiva. Para finPn,
lang<= f,frang<= = l|!integral0^1 f(t)^2,dtr|
Como f(t)^2>=0 em [0,1], tem-se integral0^1f(t)^2,dt>=0. Além disso, se fneq0 (polinômio não nulo), então f^2>0 num conjunto de medida positiva, logo integral0^1f^2>0. Concluímos que lang<= f,frang<=>0 para todo fneq0 e lang<= f,frang<==0 sse f=0.

Passo 3

Verificamos a simetria:
lang<= f,grang<= = l|integral0^1f(t),g(t),dtr| = l|integral0^1g(t),f(t),dtr| = lang<= g,frang<=

Passo 4

Testamos a linearidade em f. Para cinR,
lang<= c,f,grang<= = l|integral0^1 (c,f(t)),g(t),dtr| = |c|;l|integral0^1f(t),g(t),dtr| = |c|,lang<= f,grang<=
Se fosse produto interno, precisaríamos de
lang<= c,f,grang<= = c,lang<= f,grang<= para todo c. Mas aqui aparece |c| em vez de c. Por exemplo, tomando f=g=1 e c=-1:
lang<= -1cdot1,1rang<= = l|!integral0^1(-1),dtr| = 1, -1cdotlang<=1,1rang<= = -1cdot1 = -1,
logo falha linearidade (homogeneidade).

Passo 5

Como a homogeneidade no primeiro argumento não vale (aparece |c| em vez de c), a aplicação não satisfaz todos os axiomas de produto interno.

Resposta

A aplicação não define um produto interno, pois falha a propriedade de linearidade no primeiro argumento.

Exercícios relacionados