Escreva as seguintes funções como combinações de funções degrau.
(c) f(t)=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & t \in[0,4) \\\\ 3, & \text { se } & t \in(4,8) \\\\ 0, & \text { se } & t \in[8, \infty)\end{array}\right.
como combinação de funções degrau (funções unitárias u(t-a)). Vamos usar a definição de degrau e o fato de que diferenças de degraus “ligam” e “desligam” cada patamar.
Passo 2
Lembramos que a função degrau unitário deslocada é
u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a. \end{cases}
Para “ligar” um valor constante A a partir de t=a até t=b, usamos
A\bigl[u(t-a)-u(t-b)\bigr],
que vale A em t\in[a,b) e 0 fora desse intervalo.
Passo 3
No nosso caso temos dois patamares não nulos:
– 1 em [0,4), que fica como
1\bigl[u(t-0)-u(t-4)\bigr]=u(t)-u(t-4).
– 3 em (4,8), que fica como
3\bigl[u(t-4)-u(t-8)\bigr].
Em t\ge8 os dois termos somam zero, como desejado, e para t<0 ambos são zero.