Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica (Euler):
z=(-1 / 3+i / 3)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z e pede que ele seja escrito na forma trigonométrica (euleriana). Dados fornecidos:
  • z = -\tfrac{1}{3} + i\tfrac{1}{3}.
O que é pedido:
  • Encontrar o módulo r de z.
  • Encontrar o argumento \theta de z (escolhendo o argumento principal).
  • Apresentar z na forma trigonométrica r(\cos\theta + i\sin\theta) e na forma de Euler re^{i\theta}.

Passo 2

Calcular o módulo r. Lembrando a fórmula do módulo: para z = x + i y,
r = |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a parte real e y é a parte imaginária de z.
Aqui x = -\tfrac{1}{3} e y = \tfrac{1}{3}. Então
r = \sqrt{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{9}} = \sqrt{\tfrac{2}{9}} = \tfrac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

Calcular o argumento \theta. Para z = x + i y com x\neq 0, a tangente do argumento satisfaz
\tan\theta = \frac{y}{x}.
Mas atenção: a função \arctan dá um valor principal que deve ser ajustado conforme o quadrante (sinal de x e y).
Aqui x = -\tfrac{1}{3}<0 e y = \tfrac{1}{3}>0, ou seja, z está no quadrante II. Calculamos a razão absoluta:
\left|\frac{y}{x}\right|=\left|\frac{\tfrac{1}{3}}{-\tfrac{1}{3}}\right|=1.
A \arctan(1) é \tfrac{\pi}{4}. Como estamos no quadrante II (real negativa, imaginária positiva), o argumento principal é
\theta = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 4

Resumo dos valores obtidos (sem ainda montar a forma final):
  • Módulo: r = \tfrac{\sqrt{2}}{3}.
  • Argumento principal: \theta = \tfrac{3\pi}{4}.
Breve lembrança: pela fórmula de Euler valem as igualdades
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
portanto a forma trigonométrica r(\cos\theta + i\sin\theta) e a forma euleriana re^{i\theta} são equivalentes.

Passo 5

Verificação rápida (checar que os valores encontrados batem com as coordenadas dadas): calcular r\cos\theta e r\sin\theta.
r\cos\theta = \tfrac{\sqrt{2}}{3}\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{3}\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3},
r\sin\theta = \tfrac{\sqrt{2}}{3}\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{3}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{1}{3}.
Os resultados conferem com as partes real e imaginária originais de z, então os valores de r e \theta estão corretos.

Resposta

z = \tfrac{\sqrt{2}}{3}\!\left(\cos\!\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\!\tfrac{3\pi}{4}\right)
z = \tfrac{\sqrt{2}}{3}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}

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