Find the linearization
of the function
at
. Then find an upper bound for the magnitude
of the error in the approximation
over the rectangle
.
at
,
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde linearizar, e pede também uma cota para o erro na aproximação sobre um retângulo. Dados extraídos do enunciado:
- Função:
. - Ponto de linearização:
. - Retângulo:
.
O que é pedido:
- Encontrar a linearização
de em . - Encontrar uma cota superior para
, onde , válida para todos os pontos .
Passo 2
Recordando o conceito: a linearização (primeiro termo de Taylor) de uma função
de duas variáveis em
é
onde
e
são as derivadas parciais de primeira ordem. A ideia é aproximar
por um plano tangente em
; as derivadas parciais dão as inclinações desse plano nas direções
e
.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais:
Avaliar em
:
Substituindo na fórmula da linearização:
Podemos simplificar:
Passo 4
Agora vamos tratar do erro
. Para funções duas vezes continuamente diferenciáveis, o termo restante da expansão de Taylor em torno de
(resto de ordem 2) é dado pela forma quadrática em
envolvendo as segundas derivadas. Especificamente, existe uma expressão (quando as segundas derivadas são contínuas) que, em geral, pode ser estimada por meio das segundas derivadas. Como aqui
é um polinômio quadrático, as segundas derivadas são constantes, e o resto é exatamente a forma quadrática
onde
são as segundas derivadas. Vou calcular essas segundas derivadas.
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (são constantes porque
é quadrática):
Como são constantes,
.
Substituindo na expressão do resto (com
) obtemos, para
e
,
Voltando a
:
Observação didática: como
é quadrática, a linearização preserva exatamente os termos de ordem 0 e 1, e o erro é exatamente o termo quadrático restante — não é uma estimativa, é igualidade.
Passo 6
Queremos uma cota superior para
em todo o retângulo
onde
e
. Usamos desigualdades simples para obter uma cota clara e fácil de aplicar.
Usando a desigualdade triangular:
Agora substituímos os máximos permitidos por
e
:
Somando,
Verificação rápida de que essa cota é atingível: escolhendo
e
(ou
) temos
ou seja, o valor absoluto máximo no retângulo é realmente
. Portanto a cota é boa e atingida nas bordas.