Mostre que \operatorname{Re}\left\{z_{1}\right\} \operatorname{Re}\left\{z_{2}\right\}=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{z_{1} z_{2}\right\}+\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{z_{1} \overline{z_{2}}\right\} onde \bar{z} é o complexo conjugado de z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\operatorname{Re}\{z_{1}\}\operatorname{Re}\{z_{2}\}=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\{z_{1}z_{2}\}+\frac{1}{2}\operatorname{Re}\{z_{1}\overline{z_{2}}\},
onde \overline{z} é o conjugado complexo de z.
Informações relevantes dadas:
  • z_{1} e z_{2} são números complexos arbitrários.
  • \overline{z} denota o conjugado complexo (se z=x+iy então \overline{z}=x-iy).
  • O objetivo é provar que a expressão acima é verdadeira para quaisquer z_{1},z_{2}.

Passo 2

Vamos escrever z_{1} e z_{2} em coordenadas reais para trabalhar com componentes reais e imaginárias. Seja
z_{1}=a+ib,\qquad z_{2}=c+id,
onde a,b,c,d são números reais. Aqui:
  • a=\operatorname{Re}\{z_{1}\} é a parte real de z_{1},
  • b=\operatorname{Im}\{z_{1}\} é a parte imaginária de z_{1},
  • c=\operatorname{Re}\{z_{2}\} e d=\operatorname{Im}\{z_{2}\} analogamente.
    Também o conjugado de z_{2} é
\overline{z_{2}}=c-id.

Passo 3

Calcule a parte esquerda da identidade a ser mostrada, que é o produto das partes reais:
\operatorname{Re}\{z_{1}\}\operatorname{Re}\{z_{2}\}=a\cdot c = ac.
Isso é simples: a parte real de z_{1} é a e de z_{2} é c.

Passo 4

Agora calcule z_{1}z_{2}. Multiplicando as duas expressões em coordenadas:
z_{1}z_{2}=(a+ib)(c+id).
Multiplicando termo a termo e lembrando que i^{2}=-1,
z_{1}z_{2}=ac+iad+ibc+i^{2}bd=(ac-bd)+i(ad+bc).
Portanto a parte real de z_{1}z_{2} é
\operatorname{Re}\{z_{1}z_{2}\}=ac-bd.

Passo 5

Agora calcule z_{1}\overline{z_{2}}. Usando \overline{z_{2}}=c-id,
z_{1}\overline{z_{2}}=(a+ib)(c-id).
Multiplicando:
z_{1}\overline{z_{2}}=ac-iad+ibc-i^{2}bd=(ac+bd)+i(bc-ad).
Logo a parte real de z_{1}\overline{z_{2}} é
\operatorname{Re}\{z_{1}\overline{z_{2}}\}=ac+bd.

Passo 6

Agora some as duas partes reais obtidas em Passo 4 e Passo 5 e divida por 2:
\frac{1}{2}\operatorname{Re}\{z_{1}z_{2}\}+\frac{1}{2}\operatorname{Re}\{z_{1}\overline{z_{2}}\} =\frac{1}{2}(ac-bd)+\frac{1}{2}(ac+bd).
Somando os termos:
\frac{1}{2}\big((ac-bd)+(ac+bd)\big)=\frac{1}{2}(2ac)=ac.
Mas ac é exatamente \operatorname{Re}\{z_{1}\}\operatorname{Re}\{z_{2}\} (Passo 3). Portanto a igualdade desejada é verificada.

Passo 7

Comentário rápido (método alternativo, só para fixar a ideia): usar a identidade
\operatorname{Re}\{w\}=\frac{w+\overline{w}}{2}
para w=z_{1}z_{2} e w=z_{1}\overline{z_{2}} leva ao mesmo resultado de forma compacta, pois ao somar \operatorname{Re}\{z_{1}z_{2}\} e \operatorname{Re}\{z_{1}\overline{z_{2}}\} os termos imaginários cancelam e sobra 2ac, que dividido por 2 ac.

Resposta

\operatorname{Re}\{z_{1}\}\operatorname{Re}\{z_{2}\}=\dfrac{1}{2}\operatorname{Re}\{z_{1}z_{2}\}+\dfrac{1}{2}\operatorname{Re}\{z_{1}\overline{z_{2}}\}

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