Escreva a sentença matemática que relaciona o lucro L para x itens produzidos e vendidos.
\begin{aligned} & L(x)=R(x)-C(x) \\\ & L(x)=50 x-(20 x+300) \\\ & L(x)=30 x-300 \end{aligned}
\begin{aligned} & P E, L(x)=0 \\ & L(x)=30 x-300 \\ & 0=30 x-300 \\ & 30 x=300 \\ & X=300 / 30 \\ & X=10 \text { unidades } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a sentença matemática que relaciona o lucro L com o número de itens produzidos e vendidos x. As informações dadas no enunciado (peguei-as do texto que você enviou) são:
  • Receita por x itens: R(x)=50x.
  • Custo total por x itens: C(x)=20x+300.
    Também foi mostrado o cálculo do ponto de equilíbrio (quando o lucro é zero). Portanto as perguntas que vamos responder são:
  1. Escrever a expressão do lucro L(x) em função de x.
  2. Encontrar o ponto de equilíbrio, isto é, o valor de x tal que L(x)=0.

Passo 2

Conceitos básicos (rápido e prático):
  • Receita R(x) é o total recebido pela venda de x unidades. Aqui cada unidade é vendida por 50, logo R(x)=50x.
  • Custo total C(x) é o total gasto para produzir x unidades; aqui há um custo variável 20 por unidade e um custo fixo 300, logo C(x)=20x+300.
  • Lucro L(x) é a diferença entre receita e custo:
L(x)=R(x)-C(x).
Isso é simplesmente “o que entra menos o que sai”. Todas as variáveis e números acima estão em unidades monetárias compatíveis (mesma moeda).

Passo 3

Agora substituímos as expressões dadas de R(x) e C(x) na fórmula do lucro e fazemos a álgebra passo a passo:
L(x)=R(x)-C(x)
L(x)=50x-(20x+300)
Primeiro fazemos a distribuição do sinal negativo sobre o parênteses:
L(x)=50x-20x-300
Em seguida somamos os termos semelhantes (os termos em x):
L(x)=(50-20)x-300
L(x)=30x-300
Pronto: essa é a sentença matemática que relaciona o lucro com x.

Passo 4

Interpretação da função lucro L(x)=30x-300:
  • É uma função afim (reta) em x.
  • O coeficiente angular 30 significa que, para cada unidade adicional vendida, o lucro aumenta em 30 (ou seja, lucro marginal por unidade é 30).
  • O termo constante -300 representa o prejuízo inicial quando x=0; são os custos fixos que existem mesmo sem produzir nada.
    Em palavras: primeiro é preciso “cobrir” os 300 de custo fixo; depois, a cada unidade vendida, fica-se com 30 de lucro líquido.

Passo 5

Ponto de equilíbrio (quando L(x)=0): resolver a equação
0=L(x)=30x-300
Resolvendo passo a passo:
30x-300=0
Somar 300 em ambos os lados:
30x=300
Dividir ambos os lados por 30:
x=\dfrac{300}{30}
x=10
Interpretação: com a venda de 10 unidades o lucro é zero — isso é o ponto de equilíbrio. Para x>10 há lucro positivo; para x<10 há prejuízo.

Passo 6

Checagem rápida (controle de erro): calcular L(10)
L(10)=30\cdot 10-300=300-300=0,
confere que x=10 é realmente o ponto em que o lucro é zero. Exemplo extra (para sentir a fórmula): se x=20,
L(20)=30\cdot20-300=600-300=300,
logo vender 20 unidades dá lucro de 300.

Resposta

L(x)=30x-300
x=10\\ \text{unidades}

Exercícios relacionados