Escreva a sentença matemática que relaciona o lucro L para x itens produzidos e vendidos.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a sentença matemática que relaciona o lucro
com o número de itens produzidos e vendidos
. As informações dadas no enunciado (peguei-as do texto que você enviou) são:
- Receita por
itens: . - Custo total por
itens: .
Também foi mostrado o cálculo do ponto de equilíbrio (quando o lucro é zero). Portanto as perguntas que vamos responder são:
- Escrever a expressão do lucro
em função de . - Encontrar o ponto de equilíbrio, isto é, o valor de
tal que .
Passo 2
Conceitos básicos (rápido e prático):
- Receita
é o total recebido pela venda de unidades. Aqui cada unidade é vendida por , logo . - Custo total
é o total gasto para produzir unidades; aqui há um custo variável por unidade e um custo fixo , logo . - Lucro
é a diferença entre receita e custo:
Isso é simplesmente “o que entra menos o que sai”. Todas as variáveis e números acima estão em unidades monetárias compatíveis (mesma moeda).
Passo 3
Agora substituímos as expressões dadas de
e
na fórmula do lucro e fazemos a álgebra passo a passo:
Primeiro fazemos a distribuição do sinal negativo sobre o parênteses:
Em seguida somamos os termos semelhantes (os termos em
):
Pronto: essa é a sentença matemática que relaciona o lucro com
.
Passo 4
Interpretação da função lucro
:
- É uma função afim (reta) em
. - O coeficiente angular
significa que, para cada unidade adicional vendida, o lucro aumenta em (ou seja, lucro marginal por unidade é ). - O termo constante
representa o prejuízo inicial quando ; são os custos fixos que existem mesmo sem produzir nada.
Em palavras: primeiro é preciso “cobrir” osde custo fixo; depois, a cada unidade vendida, fica-se com de lucro líquido.
Passo 5
Ponto de equilíbrio (quando
): resolver a equação
Resolvendo passo a passo:
Somar
em ambos os lados:
Dividir ambos os lados por
:
Interpretação: com a venda de
unidades o lucro é zero — isso é o ponto de equilíbrio. Para
há lucro positivo; para
há prejuízo.
Passo 6
Checagem rápida (controle de erro): calcular
confere que
é realmente o ponto em que o lucro é zero. Exemplo extra (para sentir a fórmula): se
,
logo vender
unidades dá lucro de
.